Аппроксимация таблично заданной функции одной переменной методом наименьших квадратов. Исследование числовых рядов. Решение задач линейного программирования средствами пакета MathCAD

Страницы работы

19 страниц (Word-файл)

Фрагмент текста работы

Расчётно-графическое задание

1.  Аппроксимация таблично заданной функции одной переменной методом наименьших квадратов

Пусть некоторая функция задана таблицей своих значений в виде набора чисел  и требуется построить аппроксимирующую функцию вида

, где mn. Метод построения аппроксимирующей функции , при котором величина минимальна, называется методом наименьших квадратов.

Неизвестные коэффициенты  могут быть найдены из решения системы m+1линейного алгебраического уравнения с m+1 неизвестными вида

     

В матричном виде эта система имеет вид  где  - вектор коэффициентов ; Y - вектор значений функции . Матрица , имеющая m+1 столбцов, называется матрицей Вандермонда .

Искомый вектор  находится из матричного уравнения .

Транспонированием называют операцию, переводящую матрицу размерности  в матрицу размерности , делая столбцы исходной матрицы строками, а строки - столбцами. Для этого надо использовать символ транспонирования (третий слева во второй строке) - см. палитру матричных операций, показанную на рис. 1.1. То же самое реализуется комбинацией клавиш Ctrl+1 - как показано на рис.1.2.

Рис. 1.1. Палитра матричных операций

 


Для транспонирования матрицы достаточно подать команду Ctrl+1

Инвертирование матрицы

Рис. 1.2. Порядок выполнения матричных операций

Задание.

1.1. В соответствии с вариантом задания (см. таблицы 1.1 и 1.2) разработать в среде Mathcad 2000 код программы, вычисляющей коэффициенты  аппроксимирующих функций вида

 по методу наименьших квадратов.

На одной координатной плоскости построить для различных значений m графики этих функций.

Разработать в среде Mathcad 2000 код программы и заполнить таблицу 1.3 для заданных значений m.

Таблица 1.1

1-я цифра варианта

0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

2

4.6

4.2

2.6

2.0

4.5

4.8

5.1

5.2

5.5

4.3

1

500

520

520

540

560

580

580

600

620

620

25

28

29

28

29

26

27

25

25

26

2

1000

1100

1100

1200

1300

1400

1400

1500

1700

1800

559

551

552

529

510

499

500

495

495

495

3

0.002

0.003

0.004

0.004

0.005

0.006

0.008

0.008

0.01

0.01

0.01

0.03

0.05

0.06

0.26

0.3

0.34

0.35

0.36

0.35

4

0.1

0.5

1

1

2

4

4

4.8

5.8

5.8

0.73

1.3

1.83

1.7

2.39

1.96

2

1.35

0.56

0.55

5

1

2

3

4

5

9

10

11

2

9

1.5

3.5

4.5

5.5

5.5

5.5

6.5

6.5

3.4

5.6

6

1

3.1

5.3

6.9

9.4

11.1

12.6

14.7

6.9

17.2

590

591

591

592

592

591

591

590.5

592

590

7

1.04

1.185

1.454

1.711

1.98

1.98

2.192

1.185

2.23

2.23

-7.6

-5.3

-2.25

-2.5

-2

-1.95

-5.3

-5.5

-7

-7.2

8

3

8

13

3

18

23

27

30

33

27

25.5

12.3

8.0

24

10.2

15.4

15.4

20.1

20.5

15.6

9

1.031

1.514

1.41

1.768

1.884

1.41

2.063

2.23

2.23

1.031

-26.6

-22.7

-21

-20.5

-19.6

-21.6

-20.5

-21

-20.8

-26.4

a

0

3

5

7

9

11

13

15

17

21

4.5

4.1

2.7

2.8

4.5

5.4

6.1

6.2

6.5

5.3

b

100

110

110

120

130

140

140

150

170

180

759

751

752

729

710

699

700

695

695

695

c

5

5.2

5.2

5.4

5.6

5.8

5.8

6.0

6.2

6.2

2.5

2.8

2.9

2.8

2.9

2.6

2.7

2.5

2.5

2.6

d

0.02

0.03

0.04

0.04

0.05

0.06

0.08

0.08

0.1

0.1

0.1

0.3

0.5

0.6

2.6

3

3.4

3.5

3.6

3.5

e

0.2

1.0

2

2

4

8

8

9.6

11.6

11.6

7.3

13

18.3

17

23.9

19.6

20

13.5

5.6

5.5

f

3

6

9

12

15

27

30

33

6

27

15

35

45

55

55

55

65

65

34

56

Таблица 1.2

2-я цифра варианта

0, 5

1, 6

2, 7

3, 8

4, 9

a, f

b, e

c, d

Значенияm

1, 3, 5

2, 4, 5

1, 2, 4

3, 4, 5

2, 4, 5

1, 3, 4

2, 3, 5

1, 4, 5

Таблица 1.3

m

2. Исследование числовых рядов

Пусть , , , …, , …, где  − бесконечная числовая последовательность . Выражение

называют бесконечным числовым рядом, а числа , , , …, , … − членами ряда;  называется общим членом. Сумма n первых членов называется n-ой частичной суммой ряда .

Ряд  называется сходящимся, если его n-ая частичная сумма при неограниченном возрастании n стремится к конечному пределу, т. е. если . Число S называют суммой ряда. Если n-ая частичная сумма ряда при  не стремится к конечному пределу, то ряд называется расходящимся.

Справедливо следующее утверждение (необходимый признак сходимости ряда). Для того чтобы ряд  сходился, необходимо, чтобы последовательность его членов  стремилась к нулю при , т. е. . Обратное, вообще говоря, неверно. Члены ряда могут стремиться к нулю, но ряд при этом расходится.

На рис. 2.1 приведён фрагмент рабочего документа MathCAD,содержащий исследование расходящегося и сходящегося рядов; для каждого исследуемого ряда построен график последовательности частичных сумм и членов ряда.

Указание. Для того чтобы вычислить символьно сумму ряда  или предел  в панели , следует щёлкнуть по кнопке  в панели  и по рабочему документу вне выделяющей рамки.

Перечислим важнейшие признаки сходимости и расходимости рядов с положительными членами.

Гармонический ряд

Ряд расходится

Необходимый признак сходимости ряда выполняется

Ряд Лейбница

Ряд сходится

Необходимый признак сходимости ряда выполняется

Сумма ряда символьно не вычисляется

 


Рис. 2.1. Фрагмент рабочего документа MathCAD, содержащий

исследование расходящегося и сходящегося рядов

1.  Первый признак сравнения. Рассмотрим два числовых ряда с неотрицательными членами и , , . Если для всех n, начиная с некоторого, справедливо неравенство , то из сходимости ряда  следует сходимость ряда ; и наоборот, из расходимости ряда  следует расходимость ряда .

2.  Второй признак сравнения. Рассмотрим два числовых ряда с неотрицательными членами и , , . Если , то ряды  и  сходятся или расходятся одновременно.

При использовании теорем сравнения исследуемый ряд чаще всего сравнивают с простейшими рядами − с обобщённым гармоническим рядом (, который сходится при  и расходится при ) или с рядом типа прогрессии (,который сходится при  и расходится при ).

На рис. 2.2 приведён фрагмент рабочего документа MathCAD,содержащий исследования сходимости рядов на основе теорем сравнения.

3. Признак сходимости Даламбера. Для ряда с положительными членами  , вычислим предел . Если , то ряд  сходится, если  − расходится. При  вопрос о сходимости ряда остаётся открытым: ряд может оказаться как сходящимся, так и расходящимся.

4. Признак сходимости Коши. Для ряда с положительными членами  , вычислим предел . Если , то ряд  сходится, если  − расходится. При  вопрос о сходимости ряда остаётся открытым: ряд может оказаться как сходящимся, так и расходящимся.

 

Рис. 2.2. Исследование сходимости рядов на основе теорем сравнения

На рис. 2.3 приведён фрагмент рабочего документа MathCAD, содержащий исследования сходимости рядов с использованием признаков сходимости Даламбера и Коши.

 


Ряд сходится по признаку сходимости Даламбера

Ряд сходится по признаку сходимости Коши

Сумма ряда символьно не вычисляется

Рис. 2.3. Исследование сходимости рядов на основе признаков

сравнения Даламбера и Коши

Задание

2.1. Выяснить, выполняется ли необходимый признак сходимости рядов. Вычислить сумму ряда. Построить (по возможности) графики для величин членов ряда и его n-ой частичной суммы (). Вариант взять из таблицы  2.1.

2.2. Исследовать сходимость ряда, используя один из признаков сходимости. Построить (по возможности) графики для величин членов ряда и его n-ой частичной суммы (). Вариант взять из таблицы  2.2.

Таблица 2.1

3-я цифра варианта

Вид ряда

3-я цифра варианта

Вид ряда

0

8

1

9

2

a

3

b

4

c

5

d

6

e

7

f

Таблица 2.2

4-я цифра варианта

Вид ряда

4-я цифра варианта

Вид ряда

0

8

1

9

2

a

3

b

4

c

5

d

6

e

7

f

3. Решение задач линейного программирования

средствами пакета MathCAD

Задача поиска условного экстремума функции многих переменных часто встречаются в экономических расчётах для минимизации затрат, максимализации прибыли и т. п. При этом экономическая задача описывается системами линейных уравнений и неравенств и относится к задачам линейного программирования. Типичным примером является так называемая транспортная задача, которая решает проблему оптимальной доставки товара потребителям с точки зрения экономии (минимизации) транспортных расходов.

Пусть у нас имеется N предприятий-изготовителей, производящих

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Расчетно-графические работы
Размер файла:
616 Kb
Скачали:
0