Аппроксимация таблично заданной функции одной переменной методом наименьших квадратов. Исследование числовых рядов. Решение задач линейного программирования средствами пакета MathCAD

Расчётно-графическое задание

1.  Аппроксимация таблично заданной функции одной переменной методом наименьших квадратов

Пусть некоторая функция задана таблицей своих значений в виде набора чисел  и требуется построить аппроксимирующую функцию вида

, где mn. Метод построения аппроксимирующей функции , при котором величина минимальна, называется методом наименьших квадратов.

Неизвестные коэффициенты  могут быть найдены из решения системы m+1линейного алгебраического уравнения с m+1 неизвестными вида

     

В матричном виде эта система имеет вид  где  - вектор коэффициентов ; Y - вектор значений функции . Матрица , имеющая m+1 столбцов, называется матрицей Вандермонда .

Искомый вектор  находится из матричного уравнения .

Транспонированием называют операцию, переводящую матрицу размерности  в матрицу размерности , делая столбцы исходной матрицы строками, а строки - столбцами. Для этого надо использовать символ транспонирования (третий слева во второй строке) - см. палитру матричных операций, показанную на рис. 1.1. То же самое реализуется комбинацией клавиш Ctrl+1 - как показано на рис.1.2.

Рис. 1.1. Палитра матричных операций

 

Рис. 1.2. Порядок выполнения матричных операций

Задание.

1.1. В соответствии с вариантом задания (см. таблицы 1.1 и 1.2) разработать в среде Mathcad 2000 код программы, вычисляющей коэффициенты  аппроксимирующих функций вида

 по методу наименьших квадратов.

На одной координатной плоскости построить для различных значений m графики этих функций.

Разработать в среде Mathcad 2000 код программы и заполнить таблицу 1.3 для заданных значений m.

Таблица 1.1

1-я цифра варианта
0	0	2	4	6	8	10	12	14	16	2
	4.6	4.2	2.6	2.0	4.5	4.8	5.1	5.2	5.5	4.3
1	500	520	520	540	560	580	580	600	620	620
	25	28	29	28	29	26	27	25	25	26
2	1000	1100	1100	1200	1300	1400	1400	1500	1700	1800
	559	551	552	529	510	499	500	495	495	495
3	0.002	0.003	0.004	0.004	0.005	0.006	0.008	0.008	0.01	0.01
	0.01	0.03	0.05	0.06	0.26	0.3	0.34	0.35	0.36	0.35
4	0.1	0.5	1	1	2	4	4	4.8	5.8	5.8
	0.73	1.3	1.83	1.7	2.39	1.96	2	1.35	0.56	0.55
5	1	2	3	4	5	9	10	11	2	9
	1.5	3.5	4.5	5.5	5.5	5.5	6.5	6.5	3.4	5.6
6	1	3.1	5.3	6.9	9.4	11.1	12.6	14.7	6.9	17.2
	590	591	591	592	592	591	591	590.5	592	590
7	1.04	1.185	1.454	1.711	1.98	1.98	2.192	1.185	2.23	2.23
	-7.6	-5.3	-2.25	-2.5	-2	-1.95	-5.3	-5.5	-7	-7.2
8	3	8	13	3	18	23	27	30	33	27
	25.5	12.3	8.0	24	10.2	15.4	15.4	20.1	20.5	15.6
9	1.031	1.514	1.41	1.768	1.884	1.41	2.063	2.23	2.23	1.031
	-26.6	-22.7	-21	-20.5	-19.6	-21.6	-20.5	-21	-20.8	-26.4
a	0	3	5	7	9	11	13	15	17	21
	4.5	4.1	2.7	2.8	4.5	5.4	6.1	6.2	6.5	5.3
b	100	110	110	120	130	140	140	150	170	180
	759	751	752	729	710	699	700	695	695	695
c	5	5.2	5.2	5.4	5.6	5.8	5.8	6.0	6.2	6.2
	2.5	2.8	2.9	2.8	2.9	2.6	2.7	2.5	2.5	2.6
d	0.02	0.03	0.04	0.04	0.05	0.06	0.08	0.08	0.1	0.1
	0.1	0.3	0.5	0.6	2.6	3	3.4	3.5	3.6	3.5
e	0.2	1.0	2	2	4	8	8	9.6	11.6	11.6
	7.3	13	18.3	17	23.9	19.6	20	13.5	5.6	5.5
f	3	6	9	12	15	27	30	33	6	27
	15	35	45	55	55	55	65	65	34	56

Таблица 1.2

2-я цифра варианта	0, 5	1, 6	2, 7	3, 8	4, 9	a, f	b, e	c, d
Значенияm	1, 3, 5	2, 4, 5	1, 2, 4	3, 4, 5	2, 4, 5	1, 3, 4	2, 3, 5	1, 4, 5

Таблица 1.3

m

2. Исследование числовых рядов

Пусть , , , …, , …, где  − бесконечная числовая последовательность . Выражение

называют бесконечным числовым рядом, а числа , , , …, , … − членами ряда;  называется общим членом. Сумма n первых членов называется n-ой частичной суммой ряда .

Ряд  называется сходящимся, если его n-ая частичная сумма при неограниченном возрастании n стремится к конечному пределу, т. е. если . Число S называют суммой ряда. Если n-ая частичная сумма ряда при  не стремится к конечному пределу, то ряд называется расходящимся.

Справедливо следующее утверждение (необходимый признак сходимости ряда). Для того чтобы ряд  сходился, необходимо, чтобы последовательность его членов  стремилась к нулю при , т. е. . Обратное, вообще говоря, неверно. Члены ряда могут стремиться к нулю, но ряд при этом расходится.

На рис. 2.1 приведён фрагмент рабочего документа MathCAD,содержащий исследование расходящегося и сходящегося рядов; для каждого исследуемого ряда построен график последовательности частичных сумм и членов ряда.

Указание. Для того чтобы вычислить символьно сумму ряда  или предел  в панели , следует щёлкнуть по кнопке  в панели  и по рабочему документу вне выделяющей рамки.

Перечислим важнейшие признаки сходимости и расходимости рядов с положительными членами.

 

Рис. 2.1. Фрагмент рабочего документа MathCAD, содержащий

исследование расходящегося и сходящегося рядов

1.  Первый признак сравнения. Рассмотрим два числовых ряда с неотрицательными членами и , , . Если для всех n, начиная с некоторого, справедливо неравенство , то из сходимости ряда  следует сходимость ряда ; и наоборот, из расходимости ряда  следует расходимость ряда .

2.  Второй признак сравнения. Рассмотрим два числовых ряда с неотрицательными членами и , , . Если , то ряды  и  сходятся или расходятся одновременно.

При использовании теорем сравнения исследуемый ряд чаще всего сравнивают с простейшими рядами − с обобщённым гармоническим рядом (, который сходится при  и расходится при ) или с рядом типа прогрессии (,который сходится при  и расходится при ).

На рис. 2.2 приведён фрагмент рабочего документа MathCAD,содержащий исследования сходимости рядов на основе теорем сравнения.

3. Признак сходимости Даламбера. Для ряда с положительными членами  ,  , вычислим предел . Если , то ряд  сходится, если  − расходится. При  вопрос о сходимости ряда остаётся открытым: ряд может оказаться как сходящимся, так и расходящимся.

4. Признак сходимости Коши. Для ряда с положительными членами  ,  , вычислим предел . Если , то ряд  сходится, если  − расходится. При  вопрос о сходимости ряда остаётся открытым: ряд может оказаться как сходящимся, так и расходящимся.

 

Рис. 2.2. Исследование сходимости рядов на основе теорем сравнения

На рис. 2.3 приведён фрагмент рабочего документа MathCAD, содержащий исследования сходимости рядов с использованием признаков сходимости Даламбера и Коши.

 

Рис. 2.3. Исследование сходимости рядов на основе признаков

сравнения Даламбера и Коши

Задание

2.1. Выяснить, выполняется ли необходимый признак сходимости рядов. Вычислить сумму ряда. Построить (по возможности) графики для величин членов ряда и его n-ой частичной суммы (). Вариант взять из таблицы  2.1.

2.2. Исследовать сходимость ряда, используя один из признаков сходимости. Построить (по возможности) графики для величин членов ряда и его n-ой частичной суммы (). Вариант взять из таблицы  2.2.

Таблица 2.1

3-я цифра варианта	Вид ряда	3-я цифра варианта	Вид ряда
0		8
1		9
2		a
3		b
4		c
5		d
6		e
7		f

Таблица 2.2

4-я цифра варианта	Вид ряда	4-я цифра варианта	Вид ряда
0		8
1		9
2		a
3		b
4		c
5		d
6		e
7		f

3. Решение задач линейного программирования

средствами пакета MathCAD

Задача поиска условного экстремума функции многих переменных часто встречаются в экономических расчётах для минимизации затрат, максимализации прибыли и т. п. При этом экономическая задача описывается системами линейных уравнений и неравенств и относится к задачам линейного программирования. Типичным примером является так называемая транспортная задача, которая решает проблему оптимальной доставки товара потребителям с точки зрения экономии (минимизации) транспортных расходов.

Пусть у нас имеется N предприятий-изготовителей, производящих