Комплексные числа и действия над ними. Уравнение прямой в пространстве. Арифметика пределов. Определённый интеграл и его свойства

Страницы работы

36 страниц (Word-файл)

Фрагмент текста работы

1.КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ.

Комплексным числом называется выражение вида а+bi, где а,b – вещественные числа, i –некоторый символ. Обычно но необязательно обозначается последними буквами латинского алфавита. Z=a+bi.

Действия над ними устанавливаются с помощью нескольких аксиом.

1)z1=a1+b1i и z2=a2+b2i  называются равными, если а11, b1=b2.

2) суммой комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число z вида

z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i

3) произведением комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число

z1*z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i

4) a+0i=a

i2=-1

a=ReZ вещественная часть числа Z

b=ImZ мнимая часть числа Z

Z=ReZ+i*ImZ

Деление комплексных чисел.

Z1/Z2=(a1+ib1)(a2-ib2)/(a2+ib2)(a2-ib2)=(a1a2+b1b2)+i(b1a2-a1b2)\a2²+b2²=(a1a2+b1b2/a2²+b2²)+i*(b1a2-a1b2/a2²+b2²)

2)ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА.

Z=a+bi=IZI*(cosφ+i*sinφ), IZI- длина вектора, IZI=, φ=arg Z.

Всякому не нулевому cplx будем ставить в соответствие угол. Аргументом cplx будем считать угол между положительным направлением оси  ReZ и вектором Z, отсчитываемый против часовой стрелки.

ФОРМУЛА МУАВРА

Zn=IZIn*(cosnφ+i*sinφ)

Формула Муавра сразу следует из формулы Эйлера  и тождества для экспонент ,где b — целое число. Также можно доказать путем математической индукции.

(cos x + i sin x)^1 = cos 1x + i sin 1x

(cos x + i sin x)^(n+1)=(cos x + i sin x)^n*(cos x + i sin x)=(cos nx + i sin nx)(cos x + i sin x) =

= (cos nx cos x - sin nx sin x) + i (cos nx sin x + sin nx cos x) = cos (n+1)x + sin (n+1)x

ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЕЙ ИЗ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ.

n√Z=n√IzI*(cos (φ+2πk)/n +i *sin (φ+2πk)/n) k∈(1;2;3…a-1)

Пусть

Применяя формулу Муавра, получаем

и на основании правила равенства комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме, получаем:

 т.е. модуль корня n-й степени из комплексного числа равен (арифметическому) корню n-й степени из модуля этого числа.

ν=(φ+2πk)/n

МЕТОД ГАУССА

4)5)6)Метод Гаусса основан на преобразовании системы к наиболее простому виду с помощью элементарных преобразований. “Делай так и только так” 1.Проверяем равен ли нулю коэффициент при х111). Если да, то меняем местами первое уравнение с ближайшим у которого коэффициент при х1 не равен 0. Пусть теперь а11=0. Переписываем первое уравнение системы(1) без изменений а11х112х2+...а1nхn=b1. С помощью первого уравнения делаем коэффициент при х1 во всех остальных уравнениях равным 0. Прибавим ко второму уравнению первое, умноженное на , к 3-ему – 1-ое, умноженное на и т.д. Получаем систему(2): а11х112х2+...а1nхn=b1

22x2+…+2nxn=2

………………………….

m2x2+…+mnxn=m

2.Переписываем 1-ое у-ие системы без изменений, получаем систему (3):

а11х112х2+...а1nхn=b1

22x2+…+2nxn=2

33x3+…+3nxn=3

………………………….

m3x3+…+mnxn=m

Проверяем, равно ли 0 22. Если равно 0, то меняем 2-ую строчку с ближайшей, у которой коэффициент при х2 не равен 0. Пусть теперь 22 не равно 0. Переписываем 2-ую строчку. С помощью 2-ой строчки делаем коэффициент при х2 во всех нижестоящих у-ях равным 0. Для этого к этим у-ям прибавляем 2-ое, умноженное на − . Получаем систему(3). Выполняем эту операцию несколько раз до тех пор, пока система (1) не примет вид(4) :

а11х112х2+...а1nхn=b1

22x2+…+2nxn=2

…………………………….

rsxs+rs+1xs+1+…rnxn=r

0=r+1

0=r+2

…………

0=m

Если хотя бы одно из r+1....m не равно 0, то система (4) и эквивалентная ей система (1) несовместны.

Если система(4) имеет вид(5):

а11х112х2+...а1nхn=b1

22x2+…+2nxn=2

…………………………….

n-1,n-1xn-1+n-1,nxn=n-1

nnxn=n

………………….

0=0

0=0

Пусть система(4) преобразуется в систему(5), то это значит, что система(5), а значит и система(1), имеет единственное решение. Именно из последнего ур-ия находим, что xn=. Из предпоследнего у-ия находим, что хn-1=(n-1-n), и так далее получаем все значения х. Возможна такая ситуация, что система(1) приводиться к виду(6): а11х112х2+...а1nхn=b1

22x2+…+2nxn=2

…………………………….

ssxs+s,s+1xs+1+…s,nxn=s

0=0

….

0=0

Пусть xn=cn, xn-1=cn-1 и т.д  и xs+1=cs+1 , где сn….cs+1- произвольные постоянные величины. Тогда получаем, что

Xs=(s-s,s+1cs+1…-s,ncn) и т.д до х1, система(6) и система(1) имеет бесконечно много решений т.е неопределенная система.

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ И ЕГО СВОЙСТВА.

Определителем матрицы называется сумма произведений всех элементов j-столбца на их алгебраические дополнения.

Алгебраический дополнением элемента аij называется выражение равное (-1)i+j * Аij, где Аij – определитель, полученный вычеркиванием i-строки

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Конспекты лекций
Размер файла:
830 Kb
Скачали:
0