Построение поля корреляции и формулировка гипотезы о форме связи. Расчет параметров уравнений парных регрессий

Страницы работы

11 страниц (Word-файл)

Фрагмент текста работы

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«Комсомольский-на-Амуре государственный

технический университет»

Факультет экономики и технологий

Кафедра экономики и финансов

Расчетно-грфическое задание.

По дисциплине: Эконометрика

вариант 5

Студент группы: 8ФК3д-1А                                                       Соколов А. Ю.

Преподаватель:                                                                            Григорьева А. Л.

2010

Задача. По некоторым территориям России известны данные.

Задание:

1)  Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2)  Рассчитайте параметры уравнений парных регрессий:

·  Линейной

·  Степенной

·  Логарифмической

·  Показательной

3)  Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4)  Оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в п.3 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

5)  Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости α=0,05.

6)  Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

1. Построим поле корреляции и сформулируем гипотезу о форме связи.

Район

Потребительские

Денежные дохо-

расходы на

ды на душу

душу населения,

населения,

тыс. руб

тыс. руб

х

у

Республика Марий Эл

302

544

Республика Мордовия

360

560

Чувашская республика

310

545

Кировская область

415

672

Нижегородская область

452

796

Белгородская область

502

777

Воронежская область

355

632

Курская область

416

688

Липетская область

501

833

Тамбовская область

403

577

Республика Калмыкия

208

584

Республика Татарстан

462

949

Астраханская область

368

888

Вологодская область

399

831

2.      Линейная регрессия

Уравнение линейной регрессии выглядит следующим образом - ŷ=a+b∙x

Потребительские

Денежные дохо-

расходы на

ды на душу

группы

душу населения,

населения,

x2

yx

ŷ

тыс. руб

тыс. руб

y

x

1

302

544

295936

164288

327,556

2

360

560

313600

201600

333,6956

3

310

545

297025

168950

327,9397

4

415

672

451584

278880

376,6727

5

452

796

633616

359792

424,2544

6

502

777

603729

390054

416,9637

7

355

632

399424

224360

361,3237

8

416

688

473344

286208

382,8122

9

501

833

693889

417333

438,4522

10

403

577

332929

232531

340,2189

11

208

584

341056

121472

342,905

12

462

949

900601

438438

482,9642

13

368

888

788544

326784

459,557

14

399

831

690561

331569

437,6848

Сумма

5453

9876

7215838

3942259

Среднее

389,5

705,4285714

515417

281589,93

Опираясь на данные таблицы, получим следующие значения параметров:

cov(y,x)=yx-y∙x=

6825,5

σ²x=x²-x2=

17787,5306

b=cov(x,y)/σ²x=

0,3837

a=ỹ-b∙x=

118,8102

Таким образом, уравнение парной регрессии будет выглядеть следующим  образом:

ŷ=118,8102+0,3837 ∙x

При снижении денежного дохода на одну тыс. руб, потребительские расходы уменьшаются 

в среднем на 0,3837 тыс. руб.

Степенная регрессия:

 

Уравнение степенной регрессии выглядит следующим образом - ŷ=axb

 

Для определения параметров а и b необходимо линеаризировать его. Для этого доста-

 

точно правую и левую части уравнения прологарифмировать:

 

lgŷ=lga+blgx

 

Обозначим через ŷ*=lgŷ, a*=lga, x*=lgx. Тогда имеем

 

ŷ*=a*+bx*

 

Потребительские

Денежные дохо-

расходы на

ды на душу

группы

душу населения,

населения,

y*=lg(y)

x*=lg(x)

x*2

y*x*

ŷ=a∙xb

тыс. руб

тыс. руб

y

x

1

302

544

2,4800

2,7356

7,4835

6,7843

315,7399

2

360

560

2,5563

2,7482

7,5525

7,0252

322,8746

3

310

545

2,4914

2,7364

7,4879

6,8174

316,1873

4

415

672

2,6180

2,8274

7,9940

7,4022

371,5957

5

452

796

2,6551

2,9009

8,4153

7,7023

423,4108

6

502

777

2,7007

2,8904

8,3545

7,8062

415,5986

7

355

632

2,5502

2,8007

7,8440

7,1425

354,4262

8

416

688

2,6191

2,8376

8,0519

7,4319

378,3974

9

501

833

2,6998

2,9206

8,5302

7,8853

438,5027

10

403

577

2,6053

2,7612

7,6241

7,1937

330,4041

11

208

584

2,3181

2,7664

7,6530

6,4127

333,4897

12

462

949

2,6646

2,9773

8,8641

7,9333

484,8626

13

368

888

2,5658

2,9484

8,6931

7,5652

460,6565

14

399

831

2,6010

2,9196

8,5241

7,5938

437,6909

Сумма

5453

9876

36,1256

39,7707

113,0723

102,6959

Среднее

389,5

705,4286

2,5804

2,8408

8,0766

7,3354

b=(y*x*-y*∙x*)/(x*²-x*2)= 0,7708

a*=y*-bx*= 0,3906

a=10a*=2,4581

Таким образом, уравнение степенной регрессии будет иметь следующий вид:

ŷ=2,4580x0,7708

При снижении денежного дохода на 1%, потребительские расходы снижаются в среднем на 0,7708%.

Логарифмическая регрессия:

Уравнение нелинейной логарифмической регрессии представлено следующим уравнением:

ŷ=a+b∙lgx

Для определения параметров a и b необходимо представить уравнение логарифмической регрессии в виде ŷ=a+b∙x*, введя обозначение x*=lgx

Потребительские

Денежные дохо-

расходы на

ды на душу

группы

душу населения,

населения,

x*=lg(x)

x*2

yx*

ŷ

тыс. руб

тыс. руб

y

x

1

302

544

2,7356

7,4835

826,1509

321,4946

2

360

560

2,7482

7,5525

989,3477

329,6353

3

310

545

2,7364

7,4879

848,2829

322,0103

4

415

672

2,8274

7,9940

1173,3582

380,8378

5

452

796

2,9009

8,4153

1311,2127

428,3949

6

502

777

2,8904

8,3545

1450,9914

421,6102

7

355

632

2,8007

7,8440

994,2546

363,6032

8

416

688

2,8376

8,0519

1180,4368

387,4461

9

501

833

2,9206

8,5302

1463,2431

441,1545

10

403

577

2,7612

7,6241

1112,7539

338,0339

11

208

584

2,7664

7,6530

575,4139

341,4204

12

462

949

2,9773

8,8641

1375,4970

477,7686

13

368

888

2,9484

8,6931

1085,0160

459,1107

14

399

831

2,9196

8,5241

1164,9208

440,4795

Сумма

5453

9876

39,77071

113,0723

15550,88

Среднее

389,5

705,4286

2,8408

8,0766

1110,777

b=(yx*-yx*)/(x*²-x*2)= 646,6496

a=y-b∙x*= -1447,4792

Таким образом, уравнение логарифмической регрессии будет иметь следующий вид:

ŷ=-1447,4792+646,6495lgx

Показательная регресия:

Уравнение нелинейной показательной регрессии представлено следующим уравнением:

ŷ=abx

Для определения параметров а и b необходимо линеаризировать его. Для этого достаточно правую и левую части уравнения прологарифмировать:

lgŷ=lga+xlgb

Обозначим через ŷ*=lgŷ, a*=lga, b*=lgb. Тогда имеем ŷ*=a*+xb*

Потребительские

Денежные дохо-

расходы на

ды на душу

группы

душу населения,

населения,

y*=lg(y)

xy*

ŷ

тыс. руб

тыс. руб

y

x

1

302

544

2,4800

1349,1238

295936

320,996

2

360

560

2,5563

1431,5294

313600

326,4554

3

310

545

2,4914

1357,7921

297025

321,3345

4

415

672

2,6180

1759,3283

451584

367,3618

5

452

796

2,6551

2113,4902

633616

418,656

6

502

777

2,7007

2098,4468

603729

410,355

7

355

632

2,5502

1611,7443

399424

352,1951

8

416

688

2,6191

1801,9362

473344

373,6098

9

501

833

2,6998

2248,9648

693889

435,3061

10

403

577

2,6053

1503,2610

332929

332,3579

11

208

584

2,3181

1353,7490

341056

334,8192

12

462

949

2,6646

2528,7452

900601

491,9217

13

368

888

2,5658

2278,4729

788544

461,2879

14

399

831

2,6010

2161,4085

690561

434,3894

Сумма

5453

9876

36,1256

25597,9925

7215838

Среднее

389,5

705,4286

2,5804

1828,4280

515417

b*=(xy*-xy*)/(x²-x2)=

0,000457769

b=10b*=

1,0010546

a*=y*-xb*=

2,257473325

a=10a*=

180,91448

Таким образом, уравнение показательной регрессии будет иметь следующий вид:

ŷ=217,01211,0009729x

3.Коэффициенты корреляции

Линейная регрессия:

ryx=cov(y,x)/σyσx=bσxy=(yx-y∙x)/σyσx

 

 № группы

Потребительские расходы на душу населения, тыс. руб

Денежные дохо ды на душу населения, тыс. руб

 x2

 yx

 y2

y

x

1

302

544

295936

164288

91204

2

360

560

313600

201600

129600

3

310

545

297025

168950

96100

4

415

672

451584

278880

172225

5

452

796

633616

359792

204304

6

502

777

603729

390054

252004

7

355

632

399424

224360

126025

8

416

688

473344

286208

173056

9

501

833

693889

417333

251001

10

403

577

332929

232531

162409

11

208

584

341056

121472

43264

12

462

949

900601

438438

213444

13

368

888

788544

326784

135424

14

399

831

690561

331569

159201

Сумма

5453

9876

7215838

3942259

2209261

Среднее

389,5

705,4285

515417

281589,93

157804,4

σx=√x²-x2=

133,3699

 

σy=√y²-ỹ2=

78,0648

 

cov(y,x)=yx-y∙x=

6825,5

 

ryx=cov(y,x)/σyσx=

0,6556

 

Степенная регрессия:

Индекс корреляции:

ρyx=√1-

σ²е

σ²y

где σ²e=e²-e2=e²=(∑(y*-ŷ*)²) /  n

 № группы

Потребительские расходы на душу населения, тыс. руб

Денежные дохо ды на душу населения, тыс. руб

 y*=lg(y)

 y*2

ŷ*=lg(y*) 

 e²=(y*-ŷ*)²

y

x

1

302

544

2,4800

6,1504

2,4993

0,0004

2

360

560

2,5563

6,5347

2,5090

0,0022

3

310

545

2,4914

6,2069

2,4999

0,0001

4

415

672

2,6180

6,8542

2,5701

0,0023

5

452

796

2,6551

7,0498

2,6268

0,0008

6

502

777

2,7007

7,2938

2,6187

0,0067

7

355

632

2,5502

6,5037

2,5495

0,0000

8

416

688

2,6191

6,8596

2,5779

0,0017

9

501

833

2,6998

7,2891

2,6420

0,0033

10

403

577

2,6053

6,7876

2,5190

0,0074

11

208

584

2,3181

5,3734

2,5231

0,0420

12

462

949

2,6646

7,1003

2,6856

0,0004

13

368

888

2,5658

6,5836

2,6634

0,0095

14

399

831

2,6010

6,7651

2,6412

0,0016

Сумма

5453

9876

36,1256

93,3522

36,1256

0,0786

Среднее

389,5

705,4286

2,5804

6,6680

2,5804

0,0056

σ²y=y*²-y*2= 0,009564918

σ²e=e²-e2=e²=(∑(y*-ŷ*)²) / n= 0,005614304

ρyx= 0,642675405

Логарифмическая регрессия:

Значение коэффициента корреляции расчитаем по формуле:

rxy=b∙σxy

Потребительские

Денежные дохо-

расходы на

ды на душу

группы

душу населения,

населения,

x*=lg(x)

x*2

тыс. руб

тыс. руб

y

x

1

302

544

2,7356

7,4835

91204

2

360

560

2,7482

7,5525

129600

3

310

545

2,7364

7,4879

96100

4

415

672

2,8274

7,9940

172225

5

452

796

2,9009

8,4153

204304

6

502

777

2,8904

8,3545

252004

7

355

632

2,8007

7,8440

126025

8

416

688

2,8376

8,0519

173056

9

501

833

2,9206

8,5302

251001

10

403

577

2,7612

7,6241

162409

11

208

584

2,7664

7,6530

43264

12

462

949

2,9773

8,8641

213444

13

368

888

2,9484

8,6931

135424

14

399

831

2,9196

8,5241

159201

Сумма

5453

9876

39,7707

113,0723

2209261

Среднее

389,5

705,4286

2,8408

8,0766

157804,4

σx=√x*²-x*2= 0,081538488

σy=√y²-ỹ2= 78,06476249

Коэффициент регрессии b=646,6495 расчитан ранее.

rxy=b∙σxy= 0,675424165

Показательная регрессия:

Для показательной регрессии расчитываем индекс корреляции, т. к. преобразования затрагивают y непосредственно.

группы

Потребительские расходы на душу населения, тыс. руб

Денежные дохо ды на душу населения, тыс. руб

 y*=lg(y)

 y*2

 ŷ*=lg(y*)

 e²=(y*-ŷ*)²

y

x

1

302

544

2,4800

6,1504

2,5065

0,0007

2

360

560

2,5563

6,5347

2,5138

0,0018

3

310

545

2,4914

6,2069

2,5070

0,0002

4

415

672

2,6180

6,8542

2,5651

0,0028

5

452

796

2,6551

7,0498

2,6219

0,0011

6

502

777

2,7007

7,2938

2,6132

0,0077

7

355

632

2,5502

6,5037

2,5468

0,0000

8

416

688

2,6191

6,8596

2,5724

0,0022

9

501

833

2,6998

7,2891

2,6388

0,0037

10

403

577

2,6053

6,7876

2,5216

0,0070

11

208

584

2,3181

5,3734

2,5248

0,0427

12

462

949

2,6646

7,1003

2,6919

0,0007

13

368

888

2,5658

6,5836

2,6640

0,0096

14

399

831

2,6010

6,7651

2,6379

0,0014

Сумма

5453

9876

36,1256

93,3522

36,1256

0,0817

Среднее

389,5

705,4286

2,5804

6,6680

2,5804

0,0058

σ²y=y*²-y*2= 0,009565

σ²e=e²-e2=e²=∑(y*-ŷ*)²= 0,005837

Ryx= 0,624257

Все четыре полученные значения коэффициента и индекса корреляции попадают в интервал [0,8;0,95], что свидетельствует об очень тесной связи потребительских расходов от величины денежного дохода на душу населения.

Коэффициент детерминации

R2=r²=ρ²

Для линейной регрессии:

R2=r²= 0,4298

Для степенной регрессии:

R2=r²= 0,4130

Для логарифмической регрессии:

R2=r²= 0,4562

Для показательной регрессии:

R2=r²= 0,3897

4.Оценка значимости уравнения регрессии

Определим значение Fфакт:

для линейной регрессии:

Fфакт=R2(n-2)/(1-R2)= 9,0444

для степенной регрессии:

Fфакт=R2(n-2)/(1-R2)= 8,4440

для логарифмической регрессии:

Fфакт=R2(n-2)/(1-R2)= 10,0668

для показательной регрессии:

Fфакт=R2(n-2)/(1-R2)= 7,6624

Определим по таблице Fтабл при уровне значимости α=0,05, одной независимой переменной и 12 степенях свободы: Fтабл=4,75

Как мы видим, все четыре полученных нами уравнения регрессий являются статистически значимыми поскольку во всех случаях Fфакт>Fтабл.

5. Расчитаем прогнозное значение результата для степенной регрессии, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего значения.

xо=xср+10%=705,4285+10%= 761,8629

Используя уравнение степенной регрессии ŷ=2,4580x0,7708, найдем

Похожие материалы

Информация о работе

Предмет:
Эконометрика
Тип:
Расчетно-графические работы
Размер файла:
310 Kb
Скачали:
0