Математика \ Математика

Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной: Конспект лекций, страница 11

Докажем приведенные формулы, используя определение производной и доказанные теоремы.

По определению производной

так как (первый замечательный предел) и функция непрерывна.

Используем формулы приведения и теорему о производной сложной функции:

Доказать самостоятельно, используя формулы 7, 8 и теорему о производной частного:

10.

Доказать самостоятельно.

По определению

так как (второй замечательный предел) и – непрерывная функция.

ЗАМЕЧАНИЕ. Так как , то

Найдем производную функции По определению модуля

, поэтому , то есть

Функция – обратная для функции По теореме о производной обратной функции

но

11.

Рассмотрим функцию – обратная функция, поэтому по теореме о производной обратной функции имеем:

так как

Заметим, что функция дифференцируема во всех точках , а не существуют.

12.

Воспользуемся известным тождеством:

13.

Для функции – обратная, поэтому

14.

Воспользуемся тождеством:

по теореме о производной сложной функции и формулам 4 и 6.

ПРИМЕРЫ. Найти производные функций

1. – сложная функция:

ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ ПЕРВОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА

По определению дифференциал (первый дифференциал) функции вычисляется по формуле если – независимая переменная.

ПРИМЕР.

Покажем, что форма первого дифференциала остается неизменной (является инвариантной) и в том случае, когда аргумент функции сам является функцией, то есть для сложной функции .

Пусть дифференцируемы, тогда по определению

Кроме того, что и требовалось доказать.

ПРИМЕРЫ.

Доказанная инвариантность формы первого дифференциала позволяет считать, что то есть производная равна отношению дифференциала функции к дифференциалу ее аргумента, независимо от того, является ли аргумент независимой переменной или функцией.

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ,

ЗАДАННОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ

Пусть Если функция имеет на множестве обратную, то Тогда равенства определяют на множестве функцию, заданную параметрически, –параметр (промежуточная переменная).

ПРИМЕР. Построить график функции .

О 1 x

Рис. 25

Построенная кривая называется циклоидой (рис. 25) и является траекторией точки на окружности радиуса 1, которая катится без скольжения вдоль оси ОХ.

ЗАМЕЧАНИЕ. Иногда, но не всегда, из параметрических уравнений кривой можно исключить параметр.

ПРИМЕРЫ. – параметрические уравнения окружности, так как, очевидно,

– параметрические уравнения эллипса, так как

– параметрические уравнения параболы

Найдем производную функции, заданной параметрически:

Производная функции, заданной параметрически, – также функция, заданная параметрически: .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Второй производной функции называется производная от ее первой производной.

Производной -го порядка называется производная от ее производной порядка .

Обозначают производные второго и -го порядка так:

Из определения второй производной и правила дифференцирования параметрически заданной функции следует, что Для вычисления третьей производной надо представить вторую производную в виде и воспользоваться еще раз полученным правилом. Производные старших порядков вычисляются аналогично.

ПРИМЕР. Найти производные первого и второго порядков функции

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ТЕОРЕМА (Ферма). Пусть функция имеет в точке экстремум. Если существует , то

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть , например, – точка минимума. По определению точки минимума существует окрестность этой точки , в пределах которой , то есть – приращение в точке . По определению Вычислим односторонние производные в точке :