Синтез линейных импульсных систем. Постановка задачи синтеза. Наблюдатели состояния. Операторная процедура синтеза. Наблюдатели пониженного порядка. Основная идея, страница 4

Введем новую переменную:

Перепишем исходную систему уравнений, используя новую переменную:

.

Приведем подобные в последнем выражении:

.

Перепишем это выражение в матричном виде:

.

Матрица правой части получилась треугольная. Запишем характеристическое уравнение полученной системы:

Известно, что определитель для треугольной квадратной матрицы имеет следующий вид:

det(zI-A+BK)×det(zI-A+LC)=0, т.е. собственные числа этой матрицы представляют собой две группы, первая из которых - это группа желаемых корней синтезируемой системы, вторая группа корней - это группа желаемых корней наблюдателя, используемого для оценки вектора состояния объекта.

Динамика полной системы с наблюдателем и регулятором описывается двумя независимыми наборами корней:

желаемые корни системы реализуются с помощью матрицы K;

желаемый набор корней наблюдателя состояния реализуется с помощью матрицы обратных связей L.

Оба набора корней формируются независимо друг от друга, следовательно, динамические свойства фильтра и объекта взаимно друг на друга не влияют, но процессы по выходу объекта, до тех пор пока не закончатся переходные процессы в наблюдателе, зависят от последних.

Наблюдатель - неуправляемая подсистема.

2.  16. ПИД - регуляторы

(Пропорциональный - интегральный - дифференцирующий)

Структурная схема системы с ПИД-регулятором приведена на рисунке.

Рис. 2.1

Существуют специальные процедуры параметрического синтеза для нахождения параметров.

Рис. 2.2

Добавка  позволяет увеличить запас устойчивости по фазе.

2.1  Цифровая реализация

Воспользуемся приближенной процедурой интегрирования по методу прямоугольников и первой разностью для реализации процедуры дифференцирования:

.

С точки зрения цифровой реализации удобнее не прямой алгоритм, а рекуррентный, поэтому найдем управление на предыдущем шаге, затем разность между текущим управлением и предыдущим и с помощью этой разности построим рекуррентную процедуру вычисления управления:

D(kT)=U(kT)-U(kT-T)ÞU(kT)=U(k)

U(k)=U(k-1)+D(k)

 - это и есть искомый алгоритм.

Представим его в операторной форме:

Найдем передаточную функцию цифрового ПИД-регулятора:

На рисунке приведенном ниже представлена структурная интерпретация цифрового ПИД-регулятора.

Рис. 2.3

2.2  17. Модификация цифрового ПИД - регулятора

Первая модификация связана с использованием более точной процедуры интегрирования по методу трапеций:

,

,

Итоговое выражение для управления не изменилось, но изменились выражения для вычисления коэффициентов q_i.

2.3  Вторая модификация ПИД - алгоритма управления

Цель - уменьшить рывки в управляющем воздействии. Исключаем для этого в дифференцирующей компоненте входное задающее воздействие:

2.4  Ещё одна модификация

Цель та же - уменьшить рывки в управляющем воздействии. Считаем, что входное воздействие изменяется достаточно медленно, поэтому его можно исключить и из пропорциональной компоненты управления:

Маленькая модификация связана со сдвигом аргумента в интегрирующей компоненте на шаг вперед, это увеличивает запас устойчивости системы:

.

2.5  И ещё одна модификация цифрового ПИД - алгоритма с фильтрующими свойствами дифференциатора

Рис. 2.4

              Преобразования Тастина

2.6  Модификация ПИД-регулятора, полученная методом z-преобразования