Ряды Тейлора и Лорана

Страницы работы

Содержание работы

Тема  6-1. Ряды Тейлора и Лорана

Лекция 7

Введение

Пусть дана функция f(z), аналитическая в некоторой окрестности точки а.

Тогда в круге сходимости эта функция может быть представлена рядом Тейлора:

f(z)=

а само равенство называют разложением функции  в ряд Тейлора.

Замечание: многоточие, которым заканчивается правая часть функции f(z), символизирует тот факт, что точное равенство достигается за счет бесконечного множества слагаемых. Поэтому последнего слагаемого нет.

Пример 1.

Разложить в ряд Тейлора по степеням бинома (zi) функцию f(z) = z5, а = i.

Решение:

Находим производные функции f(z) = z5: .

Определим значения производных в точке a = i: .

Отсюда - многочлен 5-ой степени.

Формула Тейлора

            Если функция  f(z) имеет в точке а производные до порядка n включительно, то ее можно представить формулой Тейлора порядка n:

            f(z) =; .

Положив а = 0, можно разложить функцию f(z) в ряд Маклоренаf(z)= 

Показательная и тригонометрическая функция комплексного переменного

Разложим ez и eiz  в ряд Маклорена:

 

       для ez                              для  eiz 

*

Применив разложение в ряд к функциям sinz и cosz, получим:

f(z)=ez     f(0)=1

f¢(z)=ez    f¢(0)=1

f¢¢(z)=ez   f¢¢(0)=1

f¢¢¢(z)=ez  f¢¢¢(0)=1

……… ………

f(n)(z)=ez f(n)(0) =1

……….    …….

f(z)=ezi     f(0)=1

f¢(z)=iezi    f¢(0)=i

f¢¢(z)=-ezi   f¢¢(0)=-1

f¢¢¢(z)=-iezi f¢¢¢(0)=-i

……… ………

f(n)(z)=inezi f(n)(0) =1

……….    …….

 Произведя замену z на iz для функции ez и разделив eiz на Reeiz и Imeiz части, легко увидеть, что ezi есть сумма cosz и i× sinz.

Cоотношения между функциями, выражаемые как:

                ;        ;           

называются  формулами Эйлера.

Области сходимости рядов

Рассмотрим два ряда:

1.  , область сходимости которого определяется неравенством r <| z-a|  и

2. , область сходимости которого определяется неравенством | z-a| < R.

            При условии r < R, областью сходимости ряда, полученного сложением вышеперечисленных рядов, +

рис.1

служит кольца r < | z-a|< R, ограниченное концентрическими окружностями с центром в точке a и радиусами z и R (рис. 1).

Пример 2. 

 Исследовать сходимость ряда .

Решение:

Рассмотрим два ряда:

1 – ый  ряд  

Чтобы представить 1–ый ряд в виде степенного ряда , надо в нем положить (z – 1) =. Тогда получим степенной ряд , радиус сходимости которого найдем, применив формулу Даламбера    r =: .

Следовательно ряд сходится , если ||< 2, т.е. < 2 Þ |z - 1| >.

1-ый ряд сходится вне круга радиуса  r = 1/2  с центром в точке z = 1.

2 – ой  ряд 

По формуле Даламбера радиус сходимости R = и ряд сходится , если ||< 5.

2-ой ряд сходится в круге радиуса  R = 5  с центром в точке z = 1.

Ответ:  областью сходимость исходного ряда является кольцо 1/2< | z -1 |< 5.

Ряд Лорана

Если f(z) - однозначная и аналитическая функция в кольце г < | г - а |<  R, то эта функция в указанном кольце может быть представлена в виде суммы ряда Лорана:

 f(z) =  +

Ряд    -                     главная  часть  ряда  Лорана, а

            ряд   -   правильная часть ряда Лорана.

Коэф­фициенты этого ряда можно вычислить по формуле  , nÎ Z. Коэффициент А-1 называется вычетом функции f(z) от­носительно изолированной особой

точки z = a.

Особая точка

Если ряд Лорана содержит главную часть, то а называется изолирован­ной особой точкой.

Особая точка z = a называется устранимой, если су­ществует конечный предел Особая точкаявляется устранимой, если главная часть разложения в ряд Лорана отсутствует.

Пример3.

 в точке z = 0 является устранимой особой точкой, так как

Особая точка z = a называется существенно особой, если не существует.

Пример 4.

 в точке z=0 имеет существенно особую точку, так как .

Полюс функции

Особая точка z = a называется  полюсом функции   f(z), если .

Пример 5.

в точке z =0 является полюсом первого порядка, так как .

Практикум 4

1. Разложить sinx по степеням (x-p/4).

Решение:  f(x)= sinx = sinp/4+(1/1!)×cosp/4×(x-p/4)-(1/2!)× sinp/4×(x-p/4)2-(1/3!)×cosp/4×(x-p/4)3+…=

                =[1+(1/1!)×(x-p/4)-(1/2!)×(x-p/4)2-(1/3!)×(x-p/4)3+…].

2. Найти область сходимости ряда

Решение: R=.

Областью сходимости ряда является круг |z – i|< .

3. Исследовать сходимость ряда Лорана

Решение:  Рассмотрим два ряда: оба ряда являются геометрическими прогрессиями со знаменателями соответсвенно  и . Они сходятся , если   < 1 и  <1 соответственно.

Так как = 5, то |5/z|< 1 Þ |z| >5, и  = 1 Þ|z| < 1, полученные неравенства несовместны и данный ряд не сходится ни в одной точке плоскости.

4.Разложить в ряд Лорана по степеням z функцию f(z)= в окрестности точки z =0.

Решение:       Представим функцию в виде: .

 Дробь  можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом а = -1/5 и знаменателем q= <1. (Из  при |q|< 1, qn ® 0)

Тогда в окрестности точки z =0 выполняется неравенство |q|=< 1 и областью сходимости ряда является круг <.

А ряд будет иметь вид: ,   или .

Особая точка z = 0 является устранимой, так как видно, что это разложение содержит только правильную часть ряда Лорана.

5.Разложить в ряд Лорана функцию  по степеням z – 2.

Решение:  Пуcть z - 2 = t, тогда  f(z) = 16/t2 + 32/t +24 +8t +t2 =

Главная часть содержит два члена, а правильная – три.

Так как разложение содержит конечное число членов, то оно справедливо для любой точки плоскости, кроме z =2.

Точка z =2 является полюсом второго порядка.

Вычетом этой функции относительно полюса z =2 является коэффициент А-1 при (z – 2)-1, т.е. 32.

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Конспекты лекций
Размер файла:
196 Kb
Скачали:
0