Теоремы о дифференцируемых функциях. Геометрический смысл теоремы Коши. Исследование функций с помощью первой производной

Страницы работы

8 страниц (Word-файл)

Фрагмент текста работы

Лекция 1. 10.02.03.

Теоремы о дифференцируемых функциях

1. Теорема Ролля

Теорема Ролля. Если функция (x) непрерывна на замкнутом промежутке [a; b], в каждой точке интервала ]a; b[ существует конечная производная f '(x) и, кроме того, (a) = (b), то тогда между точками a и b найдется хотя бы одна точка c (< c < b) такая, что f '(с)=0.

Доказательство. Функция (x) непрерывна на промежутке [ab], следовательно, на этом промежутке она принимает наименьшее значение m и наибольшее значение M.

Если окажется, что M, то (x) постоянна на промежутке [a; b] (рис.1), т.е. (x) = const, следовательно, f '(x) = 0, " xÎ[a; b], в частности и в некоторой точке cÎ]a; b[.

Рис.1

Если M, то существует точки x1 и x2 такие, что (x1) = m, (x2) = M, причем, если бы оказалось, что точки x1 и x2 находятся на концах отрезка [a; b], то мы пришли бы к первому случаю, поэтому хотя бы одна из точек x1 или x2 лежит внутри промежутка [a; b]. Пусть для определенности x1 b и f(x1) = m. Тогда при любом достаточно малом по модулю Dx будет (x1+Dx) > (x1), откуда следует, что  при D> 0;  при D< 0. Устремим теперь Dx к нулю. Так как функция (x) дифференцируема в точке x, то это значит, что предел первой дроби должен быть равен пределу второй дроби, а это может быть только 0.

Итак, нашлась точка = x1 такая, что f '(c) = 0 (рис. 1).

Для точки x2, в которой функция достигает наибольшего значения, доказательство аналогично.

Геометрический смысл теоремы Ролля

Если выполнены условия теоремы Ролля, то в некоторой точке c f '(c) = 0, а это означает, что касательная к графику функции (x) в точке c параллельна оси 0x.

 


Рис. 2

 Заметим, что если хотя бы в одной точке промежутка [a; b] функция не дифференцируема, то производная функции (x) может в нуль и не обратиться (см. рис. 2). Например, функция =1-½x½непрерывна на промежутке [-1; +1], дифференцируема на ]-1;+1[ за исключением точки x0 = 0, причем  f(-1) = f(1) = 0, т.е. условие теоремы Ролля нарушено в единственной точке x0 = 0 (в ней функция не дифференцируется). Очевидно, что ни в одной точке графика функции на промежутке [-1; 1] касательная       к графику не параллельна оси 0x.

2. Теорема Лагранжа

Теорема Лагранжа. Если функция = f (x) непрерывна на замкнутом промежутке [a; b] и дифференцируема на интервале ]a; b[, то внутри промежутка [a; b] найдется хотя бы одна точка c (< c < b) такая, что будет иметь место равенство

f (b)-f (a) = f '(c)(b - a)

– формула конечных приращений Лагранжа.

Доказательство. Введем в рассмотрение вспомогательную функцию Φ(x) = [f (x) - (a)](a) - [(b) - (a)](a). Функция Φ(x) непрерывна на промежутке [a; b] как сложная функция непрерывных функций; кроме того, она дифференцируема на интервале ]a; b[, причем, Φ(a) = Φ(b) = 0. Следовательно, функция Φ(x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля; значит, найдется точка c, лежащая внутри промежутка [a; b] такая, что Φ'(c) = 0.

Найдем Φ'(x). Ясно, что Φ'(x) = f '(x) × (a) - ((b) - (a)). Предположив здесь c, получим Φ'(c) = f '(c) × (ba) - ((b) - (a)) = 0. Отсюда следует, что

(b) - (a) = f '(c) × (a).

Формулу конечных приращений Лагранжа можно записать несколько иначе, если положить + Dx, x и обозначить + q × Dx, где q – некоторое число, удовлетворяющее неравенству 0 < q < 1. А именно: формула Лагранжа будет иметь вид 

(+ Dx) - f (x) = f '(+ q × Dx) × Dx     (0 < q < 1).

Геометрический смысл теоремы Лагранжа (рис. 3)

 


Рис. 3

Итак, пусть выполнены условия теоремы Лагранжа, тогда справедлива формула конечных приращений Лагранжа.

Пусть точки A и B, лежащие на графике функции, имеют координаты A (a; f(a)), B (b; (b)), тогда очевидно, что величина дроби  равна  тангенсу  угла  наклона  хорды  AB к  оси  0x,  т.е. .

С другой стороны, f '(c) = tga. Значит, в точке c касательная к графику функции (x) параллельна хорде, стягивающей дугу кривой AB. В этом и заключается геометрический смысл теоремы Лагранжа.

3. Теорема Коши

Теорема Коши. Если на промежутке [a; b] функции j (x) и y (x) непрерывны и дифференцируемы в каждой точке интервала

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Конспекты лекций
Размер файла:
380 Kb
Скачали:
0