Экстремумы функции. Исследование функций с помощью второй производной. Четность и нечетность функции

Страницы работы

Фрагмент текста работы

Прежде всего заметим, что функция определена на всей числовой оси. Найдем точки, подозрительные на экстремум. Для этого вычислим производную:

Имеем две критические точки . Левее точки    , правее , значит в точке  функция имеет минимум. Ясно, что в точке  функция имеет максимум. График функции изображен на рис.7.

 


Рис. 7

Нетрудно вычислить  и . Действительно, , . Если учесть, что  и , то легко нарисовать график этой функции.

Второй достаточный признак экстремума.

 Исследование функций с помощью второй производной

Теорема . Если в окрестности точки x0 функция (x) непрерывна и дважды дифференцируема, причем в этой окрестности  непрерывна, а в точке x0  первая производная обращается в нуль, то если , в точке x0 функция имеет максимум, а если , в точке x0 функция имеет минимум.

Доказательство. Докажем первую половину теоремы.

Пусть

Так как  по условию теоремы   непрерывна в некоторой d окрестности точки , то найдется некоторый малый отрезок, окружающий точку , во всех точках которого 

Но по определению второй производной  и   , откуда следует монотонное убывание на этом отрезке функции 

Так как по условию теоремы , то при   , а при  , т.е. производная  меняет знак с «+» на «-» при переходе через точку  и  в этой точке согласно предыдущей теоремы функция достигает максимума.

Вторая часть теоремы доказывается аналогично.

Выпуклость и вогнутость кривых

Определение 1. Будем говорить, что непрерывная кривая на промежутке [ab], выпукла вверх, или просто выпукла, если график располагается ниже касательной к  графику функции,  проведенной через любую  точку графика (рис. 8а).


Рис. 8.

Определение 2. Будем говорить, что непрерывная кривая на промежутке [ab], выпукла вниз, или вогнута, если ее график располагается выше касательной к графику функции, проведенной  через любую точку графика (рис.8б).

Теорема. Если функция (x) дважды дифференцируема на промежутке [ab], причем  на этом промежутке, то на промежутке [ab], график функции выпуклый, а если , то на промежутке [ab], график функции вогнутый.

Доказательство. Пусть

Проведем в точке  касательную Т  к графику функции. По условию теоремы необходимо доказать, что все точки графика функции лежат выше касательной, т.е. ординаты любой точки кривой  больше ординаты   касательной при том же значении аргумента.

Уравнение касательной к кривой в точке  имеет вид:

,    откуда      ,  где - ординаты точек касательной.

Рис. 9.

Разность ординат точек кривой и касательной

Применим теорему Лагранжа к  функции  на отрезке :

, и тогда       ,  или ,   где .

Применим теперь теорему Лагранжа к функции  на :

, где .

В последнем равенстве  а   .

Следовательно,  , т.е. ординаты точек кривой больше ординат точек касательной при одной и той же абсциссе.

Значит, график функции   на   - вогнутый(см. рис.9).

Доказательство выпуклости графика функции на   проводится аналогично.                                                                                                                                                            

Точки перегиба

Точка на графике функции (x), отделяющая выпуклую часть графика от вогнутой, называется точкой перегиба. Из определения следует, что при прохождении через точку перегиба вторая производная меняет знак.         Если x0 – абсцисса точки перегиба, то , или , или  не существует.

Пример. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба функции   y = x³ -6x² + x12.

y′ = 3x² - 12x + 1,          y′′ = 6x – 12.

y′′ = 0 при х = 2,           y′′ < 0 при х < 2,            y′′ > 0 при х > 2.

Таким образом, график функции является выпуклым при  х < 2,  вогнутым при   х > 2, а х = 2 – точка его перегиба.

Наибольшее и наименьшее значение функции

Допустим, что некоторая функция (x) непрерывна на промежутке [a; b], тогда на этом промежутке она имеет наибольшее и наименьшее значения. Чтобы их найти, нужно отыскать все максимумы и минимумы функции, вычислить ее значения на концах промежутка, а затем сравнить их между собой и выбрать наименьшее и наибольшее. На рис.10 функция (x) имеет наибольшее значение в точке a, которое больше , а наименьшим значением является (b), которое меньше минимального значения функции .

Рис. 10.

Пример.

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции y = x³ + 3x² - 9x –15 на отрезке [-4, 4].

y ′ = 3x² + 6x – 9 = 0 при х = -3 и х =1 . При этом обе найденные критические точки принадлежат данному отрезку. Вычислим значения функции при х = -4, х = -3, х = 1 и х =4.

х

-4

-3

1

4

у

5

12

-20

61

Таким образом, наибольшее значение функции на рассматриваемом отрезке равно 61 и принимается на его правой границе, а наименьшее равно –20 и достигается в точке минимума внутри отрезка.

Четность и нечетность функции

При исследовании функции всегда нелишне проверить, является ли данная функция четной или нечетной, так как в таком случае достаточно исследовать функцию только для , а затем отобразить ее для отрицательных x симметрично относительно оси 0y или симметрично относительно начала координат.

Определение 1. Функция (x) называется четной, если  для любой точки x из области определения функции.

Например, функция  - четная функция; действительно, . Ясно, что график четной функции симметричен относительно оси 0y.

Определение 2. Функция (x) называется нечетной, если .

Например, функция  нечетная функция, так как , т.е. .

Ясно, что график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Асимптоты кривых

Определение. Прямая линия называется асимптотой графика функции , если расстояние между текущей точкой графика и этой прямой стремится к нулю по мере удаления точки от начала координат (рис. 2.8.5).

 


Рис. 11.

Итак, предположим, что график функции имеет наклонную асимптоту  , тогда очевидно, что , т.е.

.

Вследствие того, что , при , то ясно, что последнее предельное равенство может иметь место, лишь когда выражение

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Конспекты лекций
Размер файла:
459 Kb
Скачали:
0