19. Дифференциальное уравнение 1-го порядка как модель детерминированного и дифференцируемого процесса эволюции конечномерной системы.
Эволюционный процесс – это процесс изменения состояния системы со временем.
1-ое предположение теории диф. Уравнений – эволюционный процесс конечномерен. Это значит, что существует натуральное число n такое, что всякое состояние системы задается упорядоченным набором n действительных чисел, т.е. точкой арифметического пространства Rn: x=(x1,x2,…,xn) (1). Например, состояние свободной материальной точки в механике задается шестью числами: тремя координатами ее положения в пространстве и тремя составляющими вектора ее скорости. Состояние свободного абсолютно твердого тела задается 12 числами: 6 – для характеристики положения и скорости центра инерции тела, 3 (углы Эйлера) описывают положение тела относительно центра инерции, 3 (составляющие вектора угловой скорости) – скорость изменения этого положения.
2-ое предположение – эволюционный процесс должен быть детерминирован, т.е. задание состояния системы x в некоторый момент t однозначно определяет ее состояние в любой последующий момент времени существования системы, а также в любой предшествующий момент времени ее существования.
Каждую реализацию конечномерного детерминированного эволюционного процесса можно рассматривать как движение точки в пространстве Rn: x = φ(t): I®Rn (2) где I некоторый интервал оси t
3-е предположение – эволюционный процесс дифференцируем. Это значит, что любая его реализация (2) есть функция, непрерывно дифференцируемая минимум 1 раз. Итак, в теории дифференциальных уравнений исследуются конечномерные, детерминированные и дифференцируемые эволюционные процессы.
Назовем расширенным фазовым пространством системы множество U, состоящее из всевозможных упорядоченных пар (t.x), где t – какой-либо момент времени, в который система может существовать, x- одно из возможных в этот момент состояний системы. Учитывая (1) можно сказать, что U есть часть пространства R n+1.
Из детерминированности и дифференцируемости эволюционного процесса вытекает, что для любого (t,x) из U однозначно определена скорость изменения состояния системы, находящейся в момент t в положении x. Она представляет собой вектор векторного пространства Rn. Таким образом эволюционный процесс определяет функцию V(t,x): U®Rn (3) представляющую собой векторное поле на U и служащее локальным законом, задающим эволюционный процесс.
Любая реализация (2) процесса должна по определению поля (3), удовлетворять тождеству φ́(t)=V(t,φ(t)) (t из I) (4) , где φ́(t)=d φ(t)/dt. Этот факт выражает то, что движение φ(t): I®Rn есть решение диф уравнения первого порядка x́=V(t,x) (5)
В координатной записи движение (2) имеет вид x1=φ1(t), x2=φ2(t),…, xn=φn(t) (6) , где φ1(t), φ2(t),…, φn(t) – числовые функции переменной t из I, а уравнение (5) записывается как система равенств x1́ = V1(t, x1,…., x2), …, xn=Vn(t, x1,…, xn) (7), где V1,…,Vn – координаты векторного поля V(t,x), являющиеся числовыми функциями точки (t,x1,…,xn) из U.
Уравнение (5) или (7) часто называют n – мерным уравнением первого порядка или системой n уравнений первого порядка. Множество U называют областью определения уравнения (5).
Основная задача теории дифференциальных уравнений: по свойствам уравнения (5), т.е. поля (3), судить о свойствах решений уравнения и находить эти решения. Задача нахождения всех решений уравнения “в явном виде” разрешима далеко не всегда. Поэтому важное значение имеют качественные методы анализа диф уравнений, позволяющие сделать содеожательные выводы о свойствах решений, не вычисляя их. Приближенные методы, аналитические или численные, позволяющие вычмслять решения уравнений с достаточной точностью.
20. Интегральные кривые, поле направлений. Уравнения с разделяющимися переменными. Примеры.
Обратимся к геометрической интерпретации введенных выше понятий. Изобразим множество U в пространстве R n+1. Пусть имеется некоторое решение (2) уравнения (3). График этого решения есть линия в U , называемая интегральной кривой уравнения (3) (сплошная линия на рис.1). параметрическое уравнение интегральной кривой можно записать в виде t=t; xi=φi(t) i=1,2,…n; (t из I) (9). Касательная к этой линии в точке (t, x1,...,xn) из U имеет направляющий вектор (1, φ΄1(t),…, φ΄n(t))=(1, V1(t,x),…,Vn(t,x)) (10).
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.
