Фізика атомів і молекул. Основи квантової механіки. Фізика твердого тіла. Ядерна фізика та елементарні частинки

6  ФІЗИКА АТОМІВ І МОЛЕКУЛ. ОСНОВИ КВАНТОВОЇ

МЕХАНІКИ. ФІЗИКА ТВЕРДОГО ТІЛА. ЯДЕРНА ФІЗИКА

ТА ЕЛЕМЕНТАРНІ ЧАСТИНКИ

Основні формули

Теорія Бора

Квантування моменту імпульсу електрона (перший постулат Бора)

L_n = n   або mV _nr _n = n,

де m - маса електрона;  V_n - швидкість електрона на  n - й  орбіті;  r_n  - радіус;   n- ї стаціонарної орбіти; - стала Планка.

Радіус  n – і стаціонарної орбіти

r_n = a_on²  ,

де  а_о - перший боровський радіус.

Дозволені значення енергії електрона для воднеподібних атомів

,

де Е_і - енергія іонізації атома; Z - порядковий номер атома.

Енергія кванта, випромінена чи поглинута атомом при переході електрона з одного стаціонарного стану у другий,

Е_n - E_m = hn,

де n - частота фотона

Узагальнена формула Бальмера

де R - стала Рідберга ( R = 3,29 . 10¹⁵с^-1)

Хвильові властивості частинок.

Співвідношення де Бройля l=R/h,

де l -  довжина хвилі де Бройля; Р - імпульс частинки.

Зв’язок між довжиною хвилі та частотою

ln = с;        w = 2pn,

де с - швидкість світла у вакумі.

Імпульс частинки та його зв’язок з кінетичною енергією Е_к

а)  Р =  m_oV;              Р² = 2mE_к,

                        б)    ,

де  m_o - маса спокою частинки;

      m - релятивістська маса;

      V - швидкість частинки;

          Е_о - енергія спокою частинки.

Співвідношення невизначеностей

а) Dх . Dр_х ³ , ( для координати та імпульсу),

де  Dр_х  - невизначеність проекції імпульсу на вісь Х; DC - невизначеність координати;

б) DE . Dt     ( для енергії та часу),

де  DE  - невизначеність енергії; Dt - час життя квантової системи у даному енергетичному стані.

          Одномірне рівняння Шредінгера для стаціонарних станів

,

де  y(х)  - хвильова функція, яка описує стан частинки; m - маса частинки; Е - повна енергія; U - потенціальна енергія частинки.

          Густина імовірності

,

де  dw(x)  - імовірність того, що частинка може бути виявлена біля точки з координатою  х   на відрізку   dх.

          Рішення рівняння Шредінгера для одномірної глибокої прямокутної «потенціальної ями»

а)   (власна хвильова функція)

                           б)  Е_n =   (власні значення енергії)

де n - квантове число ( n = 1, 2, 3, ...);

           - ширина ями

в області  l £ х £ 0 ,     U = ¥     і    y(х) = 0

Просторова решітка кристала

          Молярний об’єм кристала

=,

де М - молярна маса;  r - густина кристала .  

          Об’єм елементарної комірки для решітки кубічної сингонії

V_eл  = а³,

де а – параметр решітки.

          Відстань між найближчими сусідами

                                    а)   d  = a                    (проста кубічна)

                      б)   d = a            ( об’ємноцентрована кубічна)

                 в)   d = а/               ( гранецентрована кубічна)

Число найближчих сусідів

                                    а)  z = 6                      ( проста кубічна)

                                    б)  z = 8                      ( об’ємноцентрована кубічна)

                                    в)  z = 12                    (гранецентрована кубічна)

Число атомів, які приходяться на одну комірку

                                    а)  n = 1                      (проста кубічна)

                                   б) n = 2                          ( О.Ц.К.)

                                   в) n = 4                          ( Г.Ц.К.)

Параметр кубічної решітки з однакових атомів

          а =

де N_А - число Авогадро

Теплоємність твердих тіл.

          Середня енергія квантового одномірного осцилятора

          Теплоємність одиниці об’єму речовини

с = 9nk

де n - число атомів в одиниці об’єму;

Т - абсолютна температура;  q - температура Дебая;

                                                                                                                              де  k - стала Больцмана

Елементи квантової статистики.

Розподіл вільних електронів в металі по енергіям при  Т = О К

де dn(e) -  концентрація електронів, енергія яких знаходиться в межах від  e  до

e + d e ;     m - маса електрона.

          Енергія Фермі в металі при Т = О К

e_F(0)

де  n - концентрація електронів в металі.

          Середня енергія вільних електронів при Т = О К

<E>

Напівпровідники.

Питома провідність власних напівпровідників

g =en (b_n +  b_p),

де  е - заряд електрона;  n - концентрація носіїв заряду ( електронів і «дірок»);  b_n  i b_p - рухливість електронів  і  «дірок».

          Температурна залежність електропровідності напівпровідників

де  g_о - постійна величина;   DE - ширина забороненої зони.

Сила струму в  р  - n - переході

де І_о - граничне значення сили зворотного струму;  U - зовнішня напруга прикладена до р - n - переходу.

          Напруга при ефекті Хола

U_x = R_xBJl,

де R_x - стала Хола; В - магнітна індукція; J - густина струму; l - ширина пластин.

Стала Хола

 =

де  n - концентрація носіїв заряду

          Зв’язок між сталою Хола і питомою провідністю напівпровідника

,

де b_n,_р -  рухливість електронів або «дірок»; g - питома провідність.

Атомне ядро. Радіоактивність.

Енергія зв’язку нуклонів у ядрі

Е_зв = {[Zm_p + (A - Z)m_n] - m_я}c².

Дефект маси

Dm =[Zm_p + (A - Z) m_n] - m_я.

Закон радіоактивного розпаду

                                             N(t) = N_oexp(-lt),

де  N(t) - число ядер, що не розпались до моменту часу t;  N_o -  число ядер у початковий момент часу  ( t = 0  );  l - стала радіоактивного розпаду.

          Середній час життя радіоактивного ядра

Період піврозпаду

Т_1/2 = 

Приклади розв’язування задач

          Приклад 1. Атом водню, який знаходиться в основному стані, поглинув порцію енергії 12,75 еВ і перейшов у збуджений стан. Знайти частоту обертання електрона у збудженому стані.

                                                  Розв’язання

По визначенню частота - це число обертів у одиницю часу  , де Т - період обертання, який визначається швидкістю та радіусом орбіти електрона. У свою чергу ці величини залежать від головного квантового числа n, яке необхідно визначити.

Атом водню може поглинути енергію тільки порціями (ІІ постулат Бора):

DE = E ₁-E_n,

де  n = 2, 3, 4 ...   Для визначення n запишемо формулу квантування енергії

, де Е_і = 13,6 еВ - енергія іонізації атома водню.

Звідси

Так, електрон переходить на четверту стаціонарну орбіту.

Швидкість електрона на даній орбіті можна знайти за допомогою першого постулату Бора, якщо врахуємо вираз для радіуса  n -ої стаціонарної орбіти

mV_nr_n = n         (1)

r_n = a_on²             (2)

Рішаємо разом (1) та (2) і одержимо

           (3)

Звідси частота обертання електрона з врахуванням (2) та  (3)

 

   

          Приклад 2. Для атома водню знайти мінімальну і максимальну довжину хвилі видимої частини спектру.

                                                       Розв’язання

          Видима частина спектру відповідає серії Бальмера. В узагальненій формулі Бальмера

                          (1)

необхідно визначити

m = 2;  n =3, 4, 5 ...¥

Виразимо довжину  хвилі через частоту

                               (2)

Довжина хвилі буде мати максимальне значення, коли у (2) n = 3, та мінімальне, коли  n = ¥

     або l_max = 655,6 нм ( червоний колір)

    ( фіолетовий колір)

Відповідь:

l_max = 655,6 нм;         l_min= 364,2 нм.