Программа экзамена
по курсу «Специальные разделы математики. Дополнительные главы дифференциальных уравнений»
осенний семестр 2004/2005 учебного года
1. Автономная динамическая система (ДС) n-ого порядка. Интеграл ДС. Первый интеграл. Решение ДС. Связь между обыкновенным диференциальным уравнением и динамической системой.
2. Свойства автономной ДС на плоскости.
3. Геометрическая интерпретация динамической системы. Свойства векторного поля, индуцируемого динамической системой.
4. Линейные динамические системы. Классификация линейных динамических систем.
5. Линейные преобразования векторных полей, индуцируемых динамической системой.
6. Классификация простых состояний равновесия динамических систем.
7. Вырожденные линейные динамические системы на плоскости.
8. Нелинейные динамические системы. Теорема о линеаризации.
9. Проблема различения центра и фокуса.
10. Замкнутые траектории, возможные в динамической системе на плоскости.
11. Пример динамической системы, имеющей предельный цикл.
12. Качественный анализ динамических систем математического и физического маятника.
13. Типы областей и типы траекторий на фазовой плоскости.
14. Метод Рунге-Кутта численного решения автономной динамической системы второго порядка.
15. Сложные состояния равновесия. Особые точки с нулевыми характеристическими корнями.
16. Направления вхождения (или выхода) траектории в особую точку.
17. Дуга без контакта. Отображение Пуанкаре. Функция последования.
18. Первая теорема Бендиксона. Доказательство. Обобщение теоремы.
19. Вторая и третья теоремы Бендиксона (без доказательств).
20. Поведение интегральных кривых на бесконечности. Сфера Пуанкаре.
21. Анализ поведения траекторий уравнения Рэлея на бесконечности.
22. Вращение поля. Индекс простой замкнутой кривой.
23. Индекс как криволинейный интеграл.
24. Индекс изолированной особой точки. Вычисление индексов простых состояний равновесия.
25. Взаимосвязь индексов особых точек и индексов траекторий вокруг них.
26. Двумерные консервативные системы. Равновесия и траектории, возможные в консервативной системе.
27. Пример качественного анализа двумерной консервативной динамической системы.
28. Грубые динамические системы. Равновесия и траектории, возможные в грубой динамической системе.
29. Системы первой степени негрубости. Бифуркации систем первой степени негрубости.
30. Мягкое и жесткое возникновение колебаний в колебательной системе.
31. Линейные системы третьего порядка. Классификация.
32. Качественный анализ системы Лоренца.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.