Розв’язання задач математичної олімпіади (Знайти всі пари цілих чисел, сума яких дорівнює їх добутку)

Розв’язання задач математичної олімпіади 2008 р.

1. Знайти всі пари цілих чисел, сума яких дорівнює їх добутку.

Розв’язання: Завдання зводиться до відшукання цілих рішень рівняння

x+y=xy

Після простих перетворень знайдемо:

(x–1)(y–1)=1, звідки маємо: x–1=–1, y–1=–1 або x–1=1, y–1=1, тобто x=0, y=0 або x=2, y=2.

Відповідь: (0;0), (2;2).

2. При яких цілих значеннях n число

n(n+1)( n+2)                                         поділяється на 24?

Розв’язання: Нехай

n(n+1)( n+2):24.                                   (1)

Так як дане число при будь-якому цілому n поділяється на 3, то (1) буде виконано, якщо

n(n+1)( n+2):8.                                     (2)

Розіб’ємо множину цілих чисел на дві підмножини: множину парних і множину непарних чисел.

1) Якщо n – число парне (n=2х), то і n+2 – число парне. А з двох сусідніх парних чисел одне обов'язково ділиться на 4. Отже, число

n(n+2)

у випадку n – парного буде поділятися на 8.

2) Якщо n  непарне, то і n+2 – непарне, а число n+1 – парне. Співвідношення (2) буде виконано, якщо

n+1:8, тобто n+1=8m, звідки n=8m-1.

Відповідь: 2k або 8m–1 (k, m – цілі числа).

3. Розв’язати систему рівнянь

З першого рівняння

z= –(x+y).                                                                          (1)

Підставляючи у друге рівняння, одержимо –2xy=20

xy=–10                                                                                         (2)

З другого рівняння x²+y²=z²+20.

Піднесемо обидві частини до квадрату, одержимо          x⁴+2x²y²+y⁴=z⁴+40z²+400.

Підставляючи в це співвідношення замість x⁴+ y⁴– z⁴ число 560, а замість 2x²y² число 200, одержимо: 40z²=360; z=±3. Враховуючи (1) і (2), одержимо дві системи рівнянь

                       і                  

розв’язуючи які, знайдемо

4. Група студентів складала іспит з математики. Число студентів, які успішно склали екзамен, міститься в інтервалі від 96,8% до 97,6%. Яка найменша можлива кількість студентів у групі?

Розв’язання.

Якщо число студентів, які здали екзамен, міститься в інтервалі від 96,8% до 97,6%, то кількість студентів, які екзамен «завалили», міститься в інтервалі від 2,4% до 3,2%.

Якщо в групі було  n студентів, а невдача спіткала х студентів, то

В задачі запитують, яка найменша можлива кількість студентів у групі, тобто яке найменше натуральне n задовольняє останній нерівності.

Ліва межа інтервалу буде найменшою, якщо х найменше, тобто якщо в групі виявиться лише 1 невдаха. Тоді нерівність набуде вигляду:

Зрозуміло, що найменше натуральне n, що задовольняє цій нерівності,  32.

Відповідь:  у групі 32 студента.

5. Знайти всі функції , які при будь-яких дійсних x,y задовольняють рівняння

.

Розв’язання .

Якщо у функціональне рівняння підставити , то дістанемо рівняння  або . Покладаючи  в цьому рівнянні , дістаємо , тобто . Отже, , тобто .

Перевірка показує, що функція задовольняє умову задачі.

Відповідь:  .

6. Обчислити А²⁰⁰⁸, де .

Розв’язання:

.

Покажемо за методом математичної індукції, що

.

Нехай це  виконується. Покажемо, що даний факт має місце і при n+1:

Відповідь:   .