Навчально-методичний посібник для організації самостійної та індивідуальної роботи з дисципліни "Вища математика" (частина І), страница 21

25. Маємо точки А(-1; 3; -7), В(2; -1; 5) та С(0; 1; -5). Обчислити:   

26. Маємо вершини чотирикутника А(1; -2; 2), В(1; 4; 0), С(-4; 1; 1) та D(-5; -5; 3). Довести, що його діагоналі АС та ВD взаємно перпендикулярні.

27. Визначити, при взаємно перпендикулярні.

28. Маємо вершини трикутника А(-1; -2; 4), В( -4; -2; 0) та С(3; -2; 1). Визначити його внутрішній кут при вершині В.

29. Обчисливши внутрішні кути трикутника А(1; 2; 1), В(3; -1; 7), С(7; 4; -2), впевніться, що цей трикутник рівнобедрений.

30. Вектор , колінеарний вектору =(6; -8; -7,5), утворює гострий кут з віссю Oz. Знаючи, що ||=50, знайти його координати.

31. Знайти вектор , який колінеарний вектору =(2; 1; -1) і  задовольняє умові

32. Маємо два вектори: =(3; -1; 5) та (1; 2; -3). Знайти вектор  при умові, що він перпендикулярний до осі Oz і задовольняє умовам:

33. Маємо пряму 2х+3у+4=0. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку М0(2;1): 1) паралельно даній прямій; 2) перпендикулярно до даної прямої.

34. Маємо рівняння двох сторін трикутника 2х-3у+5=0, 3х+2у-7=0 і одна з його вершин А(2; -3). Скласти рівняння двох інших сторін цього прямокутника.

35. Знайти точку Q, симетричну точці P(-5; 13) відносно прямої   2х-3у-3=0.

36. Маємо середини сторін трикутника  М1(2; 1), М2(5; 3) та М3(3; -4). Скласти рівняння його сторін.

37. Скласти рівняння прямої, якщо точка Р(2; 3) є основою перпендикуляра, опущеного з початку координат на цю пряму.

38. Сторони трикутника задані рівняннями 4х-у-7 =0, х+3у-31=0, х+5у-7=0. Визначити точку перетину його висот.

39. Маємо вершини трикутника А(1; -1), В(-2; 1) та С(3; 5). Скласти рівняння перпендикуляра, опущеного з вершини А на медіану, проведену з вершини В.

40. Знайти проекцію точки Р(-8; 12) на пряму, що проходить через точки А(2; -3) та В(-5; 1).

41. Визначити кут j між двома прямими:

1) 5х-у+7=0,   3х+2у=0;  2) 3х-2у+7=0,  2х+3у-3=0.

42. Точка А(-4; 5) є вершиною квадрата, діагональ якого лежить на прямій 7х-у+8=0. Скласти рівняння сторін і другої діагоналі цього квадрата.

43. Маємо дві протилежні вершини квадрата А(-1; 3) та С(6; 2). Скласти рівняння його сторін.

44. Встановити, які з вказаних пар прямих перпендикулярні:

1)3х-у+5=0,  2) 3х-4у+1=0, х+3у-1=0;                       4х-3у+7=0.

45. Визначити кут j , утворений двома прямими:

1)3х –у +5 =0,        2х +у –7 =0; 

46. Маємо дві вершини трикутника М1(-10; 2) та М2(6; 4); його висоти перетинаються в точці N(5; 2). Визначити координати третьої вершини М3.

47. Маємо дві вершини А(3; -1) та В(5; 7) трикутника АВС і точку N(4; -1) перетину його висот. Скласти рівняння сторін цього трикутника.

48. Знайти радіус і координати центра кола, заданого рівнянням х22+8у-10х+37=0.

49. Встановити, яка лінія визначена рівнянням 4х2+9у2-8х+36у+4=0, і побудувати цю лінію.

50. Маємо дві точки М1(3; -1; 2) та М2(4; -2; -1).Скласти рівняння площини, що проходить через точку М1 перпендикулярно вектору  .

51. Скласти рівняння площини, що проходить через три точки:

М1(3; -1; 2), М2(4; -1; -1) та М3(2; 0; 2), знайти відстань від точки Р(-2; 1; 0) до цієї площини.

52. Визначити, при яких значеннях l та m вказані пари рівнянь будуть визначати паралельні площини:

1)  2x +Ly +3z -5=0,  mx- 6y -6z + 2=0;

2)  3x –y  +Lz -9=0,  2x+ my +2z –3 =0.

53. Визначити, при яких значеннях L вказані пари рівнянь будуть визначати перпендикулярні  площини:

1) 3x -5y +Lz -3=0,   x+ 3y +2z + 5=0;

2) 5x –y  -3z -3=0,  2x+ Ly -3z + 1 =0;

3) 7x -2y -z    =0,  Lх+  y  -z – 1=0.

54. Визначити двогранні кути, утворені перетином таких пар площин:

55. Скласти рівняння площини, що проходить через початок координат паралельно площині 5х –3у +2z –3 =0.

56. Скласти рівняння площини, що проходить:

1)  через точку М1(3; -2; -7) паралельно площині 2х –3z +5 =0;

2)  через  О(0,0,0);

3)  через М1|| XOY;

4)  через М1 і вісь OZ.

57. Встановити, що три площини x -2y +z –7 =0, 2x +y –z +2 =0, x -3y +2z –11 =0 мають одну загальну точку, і обчислити її координати.

58. Обчислити відстань d від точки Р(-1; 1; -2) до площини, що проходить через точки М1(1; -1; 1), М2(-2; 1; 3) та М3(4; -5; -2).