Метод перемещений, страница 6


11.4. Особенности определения внутренних усилий в несвободных рамах при действии узловой нагрузки

Рассмотрим некоторую n- раз кинематически неопределимую несво- бодную  раму,  нагруженную  в  узлах  произвольными  сосредоточенными силами (рис.11.12)

Рис.11.12

В этом случае степень кинематической неопределимости порождается не-


известными углами поворота жестких узлов рамы


Z1 ,...,Zn .


Тогда основная система метода перемещений образуется наложением шайб на все жесткие узлы рамы (рис.11.13)

Рис.11.13


а соответствующие ей канонические уравнения имеют вид

r11Z1  + ...r1nZnR1P= 0,

......................................

rn1Z1  + ...rnnZnRnP= 0.


(11.8)



Рассмотрим, какие особенности возникают при определении свобод- ных членов системы (11.8). Так как при действии узловой нагрузки на ос- новную систему (рис.11.14)

Рис.11.14

ни один из ее элементов не изгибается, то изгибающие моменты, и попе- речные  силы  грузового  состояния  в  любом  сечении  основной  системы имеют нулевые значения


M P   º 0,


QP   º 0


(11.9)


Тогда из условия равновесия узлов основной системы следует, что все свободные члены также имеют нулевые значения нулю


RiP   º 0


(i = 1,...,n)


(11.10)


вид


С учетом (11.10) система канонических уравнений (11.8) принимает

r11Z1  + ... + r1n Zn   = 0,

..............................

rn1Z1  + ... rnn Zn   = 0.


и представляет  собой относительно основных неизвестных систему одно- родных  линейных  алгебраических  уравнений.  С  учетом  положительной определенности  определителя                         матрицы                              коэффициентов                  канонических уравнений  метода  перемещений  такая  система  имеет  единственное  реше- ние


Zi   º 0


(i = 1,...,n) .                                 (11.11)


Полученное  решение  (11.11)  означает,  что  при  действии  на  несвободные рамы произвольной узловой нагрузки ни один из ее жестких узлов не по- ворачивается.

Тогда из формул (11.7) с учетом (11.9) и (11.11), следует, что изгибающие моменты, и поперечные силы в произвольном сечении любой несвободной рамы при узловой нагрузке имеют нулевые значения


M  º 0,


Q º 0 .



а  действующая  нагрузка  уравновешивается,  возникающими  в  стержнях рамы продольными силами.

Для  определения  продольных  сил  достаточно  рассмотреть  равновесие узлов и составить уравнения проекций на координатные оси. Начинать рассмотрение  равновесия  нужно  начинать  с  узла,  где  сходится  не  более двух стержней с неизвестными продольными силами (рис.11.15)

Рис.11.15

Уравнения равновесия для узла, показанного на рис.12.15, имеют вид


å y 0;

å x 0;


N1  + P1 sina = 0

N2  + P1 cosa = 0


Решая эти уравнения, находим значения продольных сил в стержнях, примыкающих к данному узлу

1

 

1

 
N  = -P sina

1

 

2

 
N  = -P cosa

Из  полученных  формул  для  продольных  сил  следует,  что  они  постоянны по длине каждого стержня и могут меняться только для различных стержней.

Поскольку рассматриваемая рама является несвободной, то она оста- ется  геометрически  неизменяемой  при  условной  замене  жестких  узлов шарнирными. При этом очевидно, что в составляемых уравнениях равно- весия для узлов ничего не изменяется. Поэтому для определения продоль- ных сил в стержнях несвободных рам при действии узловой нагрузки мо- жет  использоваться  шарнирно-стержневая  система,  получаемая  из  задан- ной несвободной рамы при условной замене жестких узлов шарнирными.

Сделанный  вывод  позволяет  вернуться  к  вопросу  о  правомерности использования шарнирных узлов при расчете ферм. Реальная ферма, строго говоря, является несвободной рамной конструкцией. Поэтому при узловой  схеме  нагружения  во  всех  стержнях  фермы  изгибающие  моменты  и поперечные  силы  равны  нулю,  а  продольные  силы  постоянны  по  длине каждого стержня. И при их определении жесткие узлы фермы могут заме- няться шарнирными. Однако следует помнить, что это справедливо только