Расчет неразрезных балок, страница 9

i

10.3.2.Определение моментных фокусных отношений

Формулы  (10.34),  (10.35),  поясняющие  суть  моментных  фокусных отношений, не позволяют находить численные значения этих отношений. Входящие в эти формулы опорные моменты являются неизвестными вели- чинами.

Для получения формулы, позволяющей определять величины левых моментных фокусных отношений, рассмотрим два произвольных незагру- женных  пролета  неразрезной  балки,  по  отношению  к  которым  нагрузка располагается справа (рис.10.24.а)

Рис.10.24


В этом случае  эпюра моментов в этих пролетах пройдет через  левые мо- ментные  фокусы.  Возможное  очертание  эпюры  моментов  показано  на рис.10.24.б. Тогда опорные моменты, обозначенные на эпюре, будут связаны друг с другом следующими соотношениями


X i -1


= - X i  , ki


X i -2


= - X i -1   =

ki -1


X i

ki -1ki


(10.36)


Запишем уравнение трех моментов для i-1–ой промежуточной опоры


~

li -1 X


i -2


~

+ 2(

 

li

 
li -1


+ ~)X


+

 
i -1


~

li X i   0


(10.37)


Подставим соотношения (10.36) в (10.37) и после несложных преобразований уравнение примет вид


~

li -1


~

- 2(

 

li

 
li -1


+ ~)k


+

 
i -1


~

li k


i -1ki   0


Разрешая уравнение относительно

~


ki , получим формулу


l    ⎛     1  


k  = 2 +   i~-1 ⎜ 2 -       ⎟

i                      l          k


(10.38)


i    ⎝        i -1  ⎠

Формула (10.38) позволяет вычислять левое моментное фокусное отноше- ние  произвольного  пролета  через  левое  моментное  фокусное  отношение предшествующего  ему  пролета.  Она  позволяет  осуществлять  цепочечные вычисления левых моментных фокусных отношений и поэтому называется рекуррентной формулой для их вычисления.

Для получения аналогичной формулы, позволяющей определять величины правых моментных фокусных отношений, рассмотрим два произ- вольных  незагруженных  пролета  неразрезной  балки,  по отношению  к  ко- торым нагрузка располагается слева (рис.10.25.а)

Рис.10.25

В этом случае эпюра моментов в этих пролетах пройдет через правые моментные  фокусы.  Возможное  очертание  эпюры  моментов  показано  на


рис.10.24.б. Тогда опорные моменты, обозначенные на эпюре, будут связаны друг с другом следующими соотношениями


X  = - X i -1  ,

i                  k¢


X i +1


= - X i

k¢


=  X i -1

k¢k¢


(10.39)


i                                          i +1


i    i +1


~

 
Запишем уравнение трех моментов для i–ой промежуточной опоры


~

li X


li

 
i -1


+ 2(~


li +1 )X i


~

+

 

+

 
li +1 X


i +1  = 0


(10.40)


Подставим соотношения (10.39) в (10.40) и после несложных преобразова

+

 
ний уравнение примет вид


~

l k¢k¢


- 2(~    ~


)k¢      ~   0


i    i    i +1


i          i +1


i +1


i +1


+

 

l

 
Разрешая уравнение относительно

l

 

l

 
~


ki¢ , получим формулу


l    ⎛     1  ⎞


i

 
k¢ = 2 +   i~+1 ⎜ 2 -       ⎟


(10.41)


¢

 
li    


ki +1  ⎠