Основы метода конечных элементов

М-12. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

12.0. Введение в модуль

Основными целями модуля являются:

-  введение понятий конечного элемента и узла;

-  рассмотрение типов конечных элементов и их характеристик;

-  получение матриц жесткости одномерного конечного элемента.

-  получение матрицы жесткости конструкции;

-  описание общей схемы применения метода конечных элементов.

Структура изучаемого модуля включает следующие учебные элементы:

1. Общие сведения о методе конечных элементов.

2. Расчет  стержневых  конструкций  методом  конечных  элементов  в форме метода перемещений.

При изучении учебных элементов рекомендуется использование следующей литературы: [3, c.435 - 493]; [5, c.466 - 514].

12.1.Общиесведенияо методе конечных элементов

12.1.1.Суть метода и  его разновидности

Основная  идея  метода  конечных  элементов  состоит  в  том,  что  рас- считываемая  строительная  конструкция  заменяется  совокупностью  неко- торых  элементов,  соединенных  между  собой  и  с  основанием  в  конечном числе точек. Элементы, на которые разбивается строительная конструкция, называются  конечными  элементами,  а  точки  их  соединения  -  узлами. При этом внешняя  нагрузка  заменяется системой эквивалентных  узловых сил. Такая дискретизация исходной конструкции и действующей нагрузки позволяет  заменить  ее расчет  расчетом  некоторой  идеализированной  сис- темы с конечным числом степеней свободы.

Конечные  элементы  должны  обладать  постоянными  жесткостными параметрами, а их напряженно-деформированное состояние должно с дос- таточной  точностью  описываться  некоторыми  аналитическими  выраже- ниями. Это важно для  определения связи между узловыми усилиями и пе- ремещениями.

В зависимости  оттого, что  принимается  за неизвестные  величины  в узлах принято различать следующие разновидности метода конечных эле-

ментов.  Если  за  основные  неизвестные  принять  узловые  усилия  взаимо- действия между элементами, то это соответствует   методу конечных эле- ментов в форме метода сил. Если в качестве основных неизвестных при- нять  перемещения  в  узлах,  то  это  соответствует                     методу  конечных  эле- ментов в форме метода перемещений.

В  настоящее  время  метод  конечных  элементов  является  одним  из наиболее распространенных численным методом, применяемым для расчета  любых  строительных  конструкций  и  сооружений.  Причем  в  расчетной практике      преимущественно  используется  метод  конечных  элементов  в форме метода перемещений.

12.1.2.Типы конечных элементов и их характеристики

По геометрической форме различают три типа простейших базовых конечных  элемента,  на  которые  могут  разбиваться  различные  конструк- ции:

-   одномерные;

-   двухмерные;

-   трехмерные.

Одномерный  конечный  элемент  представляет  собой  призматический стержень (рис.12.1)

Рис.12.1

Двухмерный  конечный  элемент  может  быть  двух  видов  -  треугольная пластина (рис.12.2.а) и прямоугольная пластина (рис.12.2.б)

Рис.12.2

Трехмерный     конечный     элемент     представляет      собой    тетраэдр

(рис.12.3)

Рис.12.3

Наряду  с  перечисленными  простейшими  конечными  элементами  в качестве  конечных  элементов  могут  использоваться  другие  элементы  бо- лее сложной геометрической формы. Такими элементами могут быть лю- бые  геометрически  неизменяемые  части  конструкции,  для  которых  воз- можно                получение       зависимостей,        описывающих        их                напряженно- деформированное состояние.

Конечные  элементы  характеризуются  числом  узлов  и  числом  узло- вых  реакций.  Число  узлов  конечного  элемента  зависит  от  его  формы  и мерности. Например, число узлов у одномерного конечного элемента рав- няется  двум,  у  двухмерного  конечного  элемента  в  виде  треугольной  пла- стины – трем, а виде четырехугольной пластины – четырем. Число узловых реакций у конечного элемента одного и того же типа  может быть различ- ным и зависит от вида его напряженного состояния.

Рассмотрим  наиболее  характерные  случаи  напряженного  состояния одномерного конечного элемента, которые могут встречаться при расчетах конструкций,  и  выясним,  как,  в  зависимости  от  этого,  может  изменяться число узловых реакций.

Одномерный конечный элемент, работающий на растяжение-сжатие Такой  конечный  элемент  характеризуется  двумя  узловыми  реакциями.  В каждом узле возникает одна реакция - продольная сила.

Одномерный  конечный  элемент,  работающий  на  кручение.  Такой конечный  элемент  также  характеризуется  двумя  узловыми  реакциями,  но узловыми реакциями являются скручивающие моменты.

Одномерный  конечный  элемент,  работающий  на  плоский  изгиб  в вертикальной плоскости или в горизонтальной плоскости. Число узловых