Основы метода конечных элементов, страница 4

j 4

⎜    r    ⎟

⎜ R j 5 ⎟

⎜ Rr    ⎟

⎝    j 6 ⎠

а  напряженное  состояние  в  целом  отдельного  конечного  элемента,  будет описываться следующим вектором внутренних узловых усилий

⎛ R r  ⎞

⎜   1   ⎟

⎜  M  ⎟

R r   = ⎜ R r  ⎟

⎜    j   ⎟

⎜  M  ⎟

⎜   r  ⎟

⎝ Rn   ⎠

Вектор узловых перемещений и вектор внутренних узловых усилий отдельного  конечного  элемента,  как  и  для  конструкции  в  целом,  связаны между линейной зависимостью

R r   = (k )r   qr

(12.6)

где  (k)r

- матрица жесткости отдельного конечного элемента. Эта мат-

рица  устанавливает  связь  между  перемещениями  узлов  системы  и  реакциями в связях, соответствующих принятым степеням свободы.

Матрица  жесткости  отдельного  конечного  элемента  также  имеет блочную структуру

⎜ (k11 )

K    (k  ) ⎟

(k )r= ⎜  L       L      L  ⎟

n1

r⎟

Каждый  блок  матрицы  жесткости  отдельного  конечного  элемента  тоже представляет собой подматрицу единичных реакций, возникающих в про- извольном узле конечного элемента, и, в общем случае, имеет размеры 6х6

⎛ k r

K   k r         ⎞

j1 f 6  ⎟

L  ⎟  ( j , f

= 1,...,n)

⎜ k r

k r        ⎟

⎝   j 6 f 1        K

j 6 f 6 ⎠

Определение элементов матрицы жесткости  (k )r

в общем случае ос-

новывается  на  использовании  принципа  возможных  перемещений  дефор- мируемой  системы  или  на  использовании  теоремы  Клайперона.  В  случае одномерных  конечных  элементов  для  определения  элементов  подматриц можно использовать готовые единичные эпюры внутренних усилий, полу- ченные для отдельных прямолинейных стержней в методе перемещений.

Установим      связь      величин,      характеризующих                                  напряженно- деформированное  состояние  конструкции  в  целом  и  образующих  ее  от- дельных  конечных  элементов.  Вектор  внутренних  узловых  усилий  в  про- извольном узле j зависит от узловых перемещений конструкции и согласно принципу суперпозиции описывается соотношением

Rj   = å Rjf

f

В свою очередь доля этого вектора, связанная с перемещением произвольного  узла  конструкции  f,  будет  складываться  из  векторов  внутрен-

них узловых усилий тех конечных элементов, которые примыкают  к узлам конструкции  j и f

=  å     r

Rjf                     Rjf

rÎ j , f

(12.7)

Входящие в (12.7) доли векторов внутренних узловых усилий конструкции

r

R jf

и отдельных конечных элементов

R jf  , описываются линейными соот-

ношениями и

(12.8)

r(   )r   r

Rjf   =

kjf        qf

(12.9)

Подставляя  (12.8),  (12.9)  в  (12.7)  и  учитывая  совместность  узловых перемещений конструкции и отдельных конечных элементов, получим  со- отношение,  связывающее  подматрицы  единичных  реакций  узлов  конст- рукции с подматрицами единичных узловых реакций отдельных конечных элементов

rÎ jf

С   учетом   полученного   соотношения   матрица   жесткости   конструкции

(12.4) принимает вид

⎜ å (k11 )

K     å (k1 N  )  ⎟

⎛

(k ) = ⎜

⎜

r

rÎ1,1

L

r   ⎞

L        L     ⎟

(12.10)