Собственные колебания консервативной системы с одной степенью свободы вблизи положения устойчивого равновесия

Министерство образования РФ

Санкт-Петербургский Государственный горный институт

им. Г.В.Плеханова

(технический университет)

Кафедра  Механики

Расчетно – графическая работа № 2

По дисциплине: Теория колебаний

Тема:  Собственные колебания консервативной системы с одной степенью свободы вблизи положения устойчивого равновесия

Вариант № 9

Выполнил: студент группы НГ-00     

 Нияскулов А.Р.

Проверил: проф. Горшков Л.К.

Санкт-Петербург

2003

 Система совершает малые собственные колебания около положения равновесия. В задании приняты следующие обозначения: 1- груз массы m₁, прикрепленный к точке А к свисающей с блока нити; 2- бицилиндр массы m₂  с радиусами r и R и радиусом инерции  относительно его геометрической оси; 3- тонкий однородный стержень массы m₃ и длины l . Принять м/с². Пружина имеет коэффициент жесткости с.

 Найти уравнения движения груза при заданных начальных условиях, амплитуду, частоту и период его колебаний.

 Дано:

m₁=12кг

m₂=24кг

m₃=24кг

r₂=3см

R₂=8см

=4см

c=7200Н/м

l=150см

0,3см

1,2см/с

Решение:

Уравнение Лагранжа:

Кинетическая энергия системы:

T₁+T₂+T₃=T

T₁-энергия возвратно-поступательного движения груза 1

T₂-энергия вращательного движения бицилиндра 2 вокруг неподвижной оси О

I₂- момент инерции бицилиндра 2 относительно оси О;

угловая скорость бицилиндра 2 относительно оси О;

Стержень 3 вращается вокруг О₁. Значит

;

Для нахождения  рассмотрим точки В и С, которые движутся практически с одинаковыми скоростями:

;

;

Потенциальная энергия системы.

П=П₁+П₂+П_пр

Мы рассматриваем малые колебания системы. Поэтому угол мал и можно заменить синус соответствующим углом. Таким образом: