Замена переменных в определённом интеграле. Интегрирование по частям и формула Тейлора с интегральным остатком. Касательная кривой

13

            Замена переменных в определённом интеграле.

Пусть выполнены следующие условия:

1) функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b];

2) отрезок [a, b] является множеством значений некоторой функции x=g(t), определённой на отрезке a £ t £ b и имеющей на этом отрезке непрерывную производную;

3) g(a) = a, g(b) = b.

При этих условиях справедлива формула:

       

Формула (1) показывает, что если вычислен интеграл, состоящий в левой части этой формулы, то вычислен и интеграл, стоящий и в правой части, и наоборот. Это формула замены переменной под знаком определённого интеграла.

Пусть Ф(x) некоторая первообразная f(x), тогда:

Так как функции Ф(х) и x=g(x) дифф-мы на соответствующих отрезках, то сложная функция Ф(g(t)) дифф-ма на отрезке [a,b]. Поэтому, применяя правило дифф-ния сложной функции, получим:

                                                                                                 

причём производная Ф’ вычисляется по аргументу х: Ф’(g(t)) = Ф’(x), где x=g(t). Поскольку Ф’(x)=f(x), то при x=g(t) получим Ф’(g(t))=f(g(t)). Подставляя это в правую часть (3), получим:

 

Следовательно, функция Ф(g(t)), определённая и непрерывная на отрезке [a,b], является на этом отрезке первообразной для функции f(g(t))g’(t), и поэтому, согласно формуле (2) имеем:

Но так как g(b)=b и g(a)=a, то:

Сравнив посл. формулу с (2),мы убеждаемся в справедливости (1).

14

Интегрирование по частям и формула Тейлора с интегральным остатком.

Пусть функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a,b]. Тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям для определённых интегралов:

 

Так как v’(x)dx=dv и u’(x)dx=du, то эту формулу записывают ещё и так:

  

В справедливости этих формул убедиться не трудно. Действительно, функция u(x),v(x) является первообразной для функции u(x)v’(x)+v(x)u’(x). Поэтому:

 

Из этого и можно получить формулы (1) и (2):

Применим формулу (1) для вывода формулы Тейлора функции f(x) с остаточным членом в интегральной форме. Пусть функция f(x) имеет в некоторой e-окрестности точки a непрерывную производную (n+1)-го порядка, и пусть x – любая данная точка из этой  e-окрестности. Убедимся, что число

  является остаточным членом формулы Тейлора для функции f(x) с центром разложения в точке a. Таким образом, формула (3) даёт представление остаточного члена формулы Тейлора для ф-ии f(x) в интегральной форме. Для док-ва заметим, что:

К интегралу применим формулу (1) интегрирования по частям, полагая u(t)=f ’(x) и v(t)= -(x-t)(так как x фиксированно, то v’dt=dt). Имеем

Подставляя найденное выражение для

В приведённую выше формулу для f(x), получим :

 

К интегралу также можно применить формулу интегрирования по частям, полагая u(t)=f ’’(t) и v(t)= -1/2(x-t)² (так как x фиксировано, то v ’dt=(x-t)dt). После несложных преобразований найдём:

и поэтому:

Дальнейшее интегрирование по частям будем производить до тех пор пока не придём к формуле:

Эта формула показывает, что R_n+1(x) действительно является остаточным членом формулы Тейлора для функции f(x) с центром разложения в точке a .

39

Касательная кривой.

Q’                          

h   Q      

d              

p  

L

Если прямая L проходит через т. p и обладает следующим свойством:

                             

, то она называется касательной.

Регулярная кривая  g , заданная уравнением r = r(t) имеет в каждой т.  p={r(t₀)} единственную касательную, которую можно задать уравнением:

r (l) = r (t₀)+ l r’(t₀)

Док-во:

d=| r(t₀+dt)-r(t₀) |

h=|t´( r(t₀+dt)-r(t₀) )|

Тогда из определения:

h/d=(поделим числ. и  знам. на dt)=(h/dt)/(d/dt)®0

получаем (t ´ r’(t₀))/( r’(t₀))=0 ,т.е. t|| r’(t₀)

и r(m)=r(t₀)+ mt, t = r’/ | r |

Ч.Т.Д.

Если у кривой существует хотя бы один атлас класса С², то такую кривую называют регулярной.

41

                       Соприкасающиеся кривые.

L₂L₁Пусть кривые L₁ и L₂

касаются друг друга        

                                       М₂     М₁           в некоторой точке М₀ .

Пусть, далее, М- произвольнаяточка на общей касательной к кривым L₁иL₂,а

М       М₁ и М₂ – точки пересече-             ния с кривыми L₁иL₂соотМ₀                       ветственно перпендикуляра                                                                                                                                  

к указанной касательной,  восстановленного в т. М.

Будем говорить, что две кривые L₁иL₂ имеют в т. М₀ порядок соприкосновения n, если существует отличный от 0 предел:

(верхний и нижний модули - это длины соотв-х отрезков). Если этот предел = 0, то говорят, что эти кривые имеют порядок соприкосновения выше n . Если L₁иL₂ имеют в точке М0 порядок соприкосновения выше любого n, то говорят, что они имеют в этой т. бесконечный порядок соприкосновения.

Предположим, что две кривые L₁иL₂ являются графиками функций y=f₁(x) и y=f₂(x) соотв-но. Предположим, далее, что эти кривые касаются друг друга в т. М₀(x₀,f₁(x₀)), причём т. М₀ является обыкновенной для каждой из этих кривых.(т.е.если f ’(x) лишь непрерывна в т. x₀).

Теорема: пусть y=f₁(x) и y=f₂(x) (n+1) раз дифференцируемы в некоторой окрестности т. x₀, причём производные порядка n+1 непрерывны в самой т. x_0. Тогда, если в т. x₀ выполняются соотношения:

f₁(x₀)=f₂(x₀), f₁‘(x₀)=f₂^‘(x₀),...,f₁⁽ⁿ⁾ (x₀)=f₂⁽ⁿ⁾ (x₀), f₁⁽ⁿ⁺¹⁾ (x₀)¹f₂⁽ⁿ⁺¹⁾ (x₀)(2)

то кривые L₁иL₂ имеют в тМ₀(x₀,f₁(x₀))порядок соприкосновения n.

Док-во: Пусть F(x)=f₂(x)-f₁(x). Достаточно доказать, что существует отличный от 0 предел:

Так как, в силу (2), F(x ₀)= F’(x₀)=…= F ⁽ⁿ⁾ (x₀)=0, F ⁽ⁿ⁺¹⁾ (x₀)¹0,то, записывая для ф-ии F(x) формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, будем иметь:

F(x)=[1/(n+1)!] F ⁽ⁿ⁺¹⁾ (x ₀ +q (x-x ₀))(x-x ₀) ⁿ⁺¹ , 0<q<1 (3)

В силу непрерывности производной порядка n+1 в точке x₀:

F ⁽ⁿ⁺¹⁾ (x ₀ +q (x-x ₀))= F ⁽ⁿ⁺¹⁾ (x ₀)+e           (4)

Где e®0 при x®x₀. Из соотношений (3) и (4) получим, что:

Теорема доказана.

Если выполнены все условия теоремы за исключением,  может, условия f₁⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀)¹ f₂⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀), то можно утверждать, что кривые L₁иL₂ имеют в точке М₀ порядок соприкосновения не ниже n.

Пусть М₀(x₀,y₀)– точка кривой L, являющейся графиком ф-ии y=f(x), имеющей непрерывную третью производную в т. x_0. Через т. М₀ можно провести бесконечно много окружностей, касающихся кривой L в этой точке. Легко убедиться в том, что часть каждой такой окружности, расположенная в некоторой окрестности т. М_0, представляет собой график ф-ии вида y=f(x). Поэтому мы можем говорить о порядке соприкосновения кривой L и любой из этих окружностей в их общей точке М_0. Та из окружностей, которая имеет с кривой L порядок соприкосновения не ниже 2-х, называется соприкасающейся окружностью для кривой L в точке M₀

Теорема2: Пусть кривая L является графиком ф-ии y=f(x), причём f(x) имеет в т. x₀ не равную нулю 2-ю производную и непрерывную 3-ю производную. Тогда для кривой L существует в т. М₀(x₀,f(x₀)) соприкасающаяся окружность.