Случайные события, вероятность, теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности, формула Байеса. Случайные величины. Свойства интегральной функции и плотности распределения вероятностей, страница 2

2. Вероятность попадания случайной точки  в область Ω равна интегралу от плотности вероятностей по этой области:

3. Вероятность попадания точки во все n-мерное пространство равна 1:

4. Интегрируя плотность распределения вероятностей системы n случайных величин, получим маргинальную плотность распределения вероятностей случайных величин, соответствующую остальным переменным:

Понятие статистической зависимости (или независимости) случайных величин является весьма важным в теории вероятностей. Такая зависимость отличается от детерминированной (функциональной) зависимости и встречается весьма часто. Например, статистической является зависимость между ростом и весом человека. Очевидно, что между этими двумя характеристиками не существует однозначной связи.

Случайные величины (X₁,X₂,…,X_n) называются статистически независимыми, если имеет место равенство:

       или, что то же самое    

Функция распределения и плотность вероятности дают полную характеристику случайной величины. Однако в ряде случаев о случайной величине достаточно иметь лишь некоторое общее представление. В теории вероятностей такое представление дают числовые характеристики случайных величин – моменты.

Математическим ожиданием СВ X называют начальный момент первого порядка.

Для дискретно распределенной СВ:

Для непрерывно распределенной СВ:

Математическое ожидание характеризует положение случайной величины на числовой оси, оно указывает значение, около которого группируются все возможные значения.

Дисперсией СВ X называют второй центральный момент:

Дисперсия СВ характеризует разброс значений СВ относительно ее среднего значения.

Модой дискретной случайной величины называют наиболее вероятное ее значение. Для непрерывной СВ модой является значение СВ, при котором плотность распределения вероятностей максимальна.

Медианой СВ называется такое ее значение, для которого СВ с одинаковой вероятностью может быть больше или меньше медианы. Медиана используется для непрерывных СВ.

3. Свойства математического ожидания СВ. Свойства дисперсии СВ. Ковариационные и корреляционные моменты СВ и их свойства. Коэффициент корреляции и его свойства. Некоррелированные СВ.

Математическим ожиданием СВ X называют начальный момент первого порядка.

Для дискретно распределенной СВ:

Для непрерывно распределенной СВ:

Математическое ожидание характеризует положение случайной величины на числовой оси, оно указывает значение, около которого группируются все возможные значения.

Дисперсией СВ X называют второй центральный момент:

Дисперсия СВ характеризует разброс значений СВ относительно ее среднего значения.

Свойства математического ожидания СВ (X и Y – СВ, с – константа):

1.

2.

3.

4. Для независимых СВ

5. Для независимых СВ

Свойства дисперсии СВ (X и Y – СВ, с – константа):

1.

2.

3. Для независимых СВ

4. Для независимых ССВ

5.

Математическое ожидание произведения двух СВ X и Y называется корреляционным моментом:

Для непрерывной СВ:

Для дискретной:

Математическое ожидание двух СВ X и Y называется ковариационным моментом:

Связь между корреляционным и ковариационным моментами определяется выражением:

Ковариационный момент является простейшей характеристикой степени связи двух СВ. Если случайные величины независимы, то ковариационный момент равен нулю. Обратное утверждение в общем случае неверно. Случайные величины называют некоррелированными, если их ковариационный момент равен нулю.

Безразмерной характеристикой степени связи между СВ X и Y служит коэффициент корреляции

Свойства ковариационного и корреляционного моментов:

1.  - доказывается с использованием неравенства Коши - Буняковского

2. Если  и , то  и

3. Если  и , то a

4. Если  и , то .

4. Классификация СП. Функция распределения и плотность распределения вероятностей СП. Математическое ожидание СП и его свойства. Дисперсия СП и ее свойства.