Применение теории случайных процессов, страница 15

Из следует, что согласованный фильтр превращает прямоугольный видеоимпульс в треугольный импульс удвоенной длительности. Ковариационная функция шума на выходе фильтра, согласованного с прямоугольным видеоимпульсом, также имеет треугольную форму. Интервал корреляции выходного шума

.

3.1.5.2. Квазиоптимальный фильтр для прямоугольного видеоимпульса

Структурная схема физически осуществимого фильтра, приведенная на рис. 3.1, содержит идеальные интегратор и линию задержки, поэтому практическая реализация такого фильтра возможна лишь в той мере, в какой характеристики реальных элементов можно приблизить к идеальным. В ряде случаев удается получить фильтры c существенно более простой реализацией, эффективность которых близка к оптимальному согласованному фильтру. Такие фильтры далее будем называть квазиоптимальными.

Для построения квазиоптимального фильтра будем заранее задавать его структуру или комплексную частотную характеристику с точностью до параметров. Далее будет выполняться параметрическая оптимизация квазиоптимального фильтра в рамках заданной структуры. Оптимальными будут считаться те значения параметров, при которых в фиксированный момент времени отношение сигнал/шум на выходе квазиоптимального фильтра достигает максимума. Очевидно, что отношение сигнал/шум на выходе квазиоптимального фильтра не превысит . Проигрыш в отношении сигнал/шум будет зависеть от того, насколько удачно была выбрана его структура.

Фильтр, согласованный с прямоугольным видеоимпульсом, является фильтром нижних частот. Возьмем в качестве квазиоптимального фильтра интегрирующую RC-цепь, которая является простейшим фильтром нижних частот. Постоянную времени RC-цепи  определим из условия максимума отношения сигнал/шум

,                               где  и  – сигнал в момент времени  и дисперсия шума  на выходе RC-цепи.

Сигнал на выходе интегрирующей RC-цепи при действии на ее входе прямоугольного видеоимпульса

Из следует, что максимум полезного сигнала на выходе интегрирующей RC-цепи достигается в момент окончания видеоимпульса, поэтому примем (так же как и для согласованного фильтра) . В этом случае максимальное значение выходного сигнала

.                          

Дисперсия шума на выходе RC-цепи при действии на ее входе белого шума в соответствии с

.                                    

Подставив и в , получим

.                           

Выполнив элементарные преобразования, приведем выражение к виду

.                где  – отношение сигнал/шум для оптимального фильтра. График зависимости  от  приведен на рис. 3.2, из которого следует, что  достигает максимума, равного , при . Таким образом, оптимальное значение постоянной времени интегрирующей RC-цепи:

, при этом проигрыш в отношении сигнал/шум оптимальному фильтру будет

.

Рис. 3.2

Поэтому, чтобы отношение сигнал/шум на выходе квазиоптимального фильтра было таким же, как и на выходе оптимального фильтра, требуется энергию прямоугольного видеоимпульса увеличить примерно в  раза.

В табл. 3.1 приведены эпюры сигналов и ковариационных функций для согласованного фильтра и интегрирующей RC-цепи.

Таблица 3.1

Характеристики фильтра и сигналов

Окончание табл. 3.1

3.1.5.3. Согласованный фильтр для прямоугольного радиоимпульса

Пусть информационный сигнал  является прямоугольным радиоимпульсом c амплитудой , длительностью  и частотой :

Для упрощения синтеза фильтра положим, что сигнал симметричен относительно , т.е. . В этом случае импульсная характеристика согласованного фильтра