Расчет автоматической системы, страница 2

В итоге, характеристический полином с найденными коэффициентами:

(20)

6. Характеристический полином замкнутой системы и вычисление его коэффициентов.

По материалам [4] имеем:

(21)

G(р) – характеристический полином замкнутой системы. Из формулы (8) получим этот полином:

(22)

Найдем коэффициенты.

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

Характеристический полином с найденными коэффициентами:

(28)

7. Анализ устойчивости системы по критерию Гурвица.

Проведем анализ устойчивости системы согласно [3]. Для этого необходимо из коэффициентов характеристического уравнения (22) составить матрицу Гурвица. С этой целью уравнение (22) запишем в виде

(29)

Как видно из характеристического полинома, все коэффициенты положительны. Выполняется необходимое, но недостаточное условие устойчивости системы по алгебраическому критерию Гурвица. Проверим достаточное условие устойчивости – положительность всех диагональных определителей матрицы Гурвица.  Составим матрицу nxn. При этом по главной диагонали с верхнего левого угла  до нижнего правого запишем коэффициенты от (аn-1) до ао. Остальные места заполним так: по строке вправо вписываем коэффициенты с возрастанием индекса, влево – с убыванием.  

(30)

Если определитель матрицы (30) больше нуля, то система устойчива.

(30)

(31)

Определитель больше нуля, следовательно, система устойчива. И все корни уравнения (29) будут иметь отрицательные вещественные части.

8. Исследование устойчивости системы по критерию Михайлова (метод чередующихся корней). Построение годографа Михайлова.

Как известно, по Михайлову система n – порядка будет устойчива, если годограф характеристической частотной функции G(j) в диапазоне частот от нуля до бесконечности последовательно против часовой стрелки обходит n квадратов комплексной плоскости. Т.е. если система устойчива, то  годограф функции G(j) поочередно пересекает вещественную и мнимую оси и не может подряд два раза пересечь одну и ту же ось.

(32)

Запишем G(p) как G(jw) и приравняем к нулю.

(33)

(34)

Найдем частоты пересечения с мнимой частью. Для этого вещественную часть приравняем нулю.

(35)

Чтобы решить данное уравнение выполним замену переменной  x = w2.

(36)

(37)

x1 = 1899,561                   x2 = 0,439

w = 43,584/с w = 0,662 1/с

Теперь найдем частоты пересечения с вещественной частью. Для этого мнимую часть приравняем нулю.

(38)

w = 0 1/с                           w = 15,811 1/с

Выстроим частоты по порядку и посмотрим, пересекаются ли где-нибудь оси два или более раз подряд.

0                    0,662               15,881           43,584

Система устойчива, так как оси по порядку пересекаются не больше одного раза. Построим годограф Михайлова. Для этого найдем координаты пересечения годографа с осями.

w = 0                                     G(jw) = 80

w = 0,662                              G(jw) = 108,601j

w = 15,881                            G(jw) = -39820

w = 43,584                             G(jw) = -69020j

На рисунке 3, б показано в более мелком масштабе, что годограф Михайлова не проходит через точку 0.

а)

б)

Рисунок 2. Годографы Михайлова в разном масштабе.

9. Исследование устойчивости системы по критерию Найквиста. Построение годографа Найквиста. Определение запаса устойчивости по модулю и по фазе.

Построим годограф К(р).

=0

(39)

                а)

                 б)

                   в)

Рисунок 3. Годографы Найквиста в разном масштабе.

Годограф системы не охватывает точку «-1», следовательно, система устойчива.

Запасом устойчивости по амплитуде согласно [6] называют расстояние между критической точкой (-1, j0) и ближайшей к ней точкой пересечения АФХ с отрицательной полуосью абсцисс. Годограф Найквиста проходит через ноль, следователь запас устойчивости по модулю равен 1.

Запас устойчивости по фазе характеризует удаленность точки АФХ, соответствующей частоте среза от критической точки (-1,j0). Определим его в соответствии с рис. 3, как угол:

(40)

10. Нахождение ошибки регулирования x(t) и построение графика.

Используем формулу для передаточной функции ошибки из материалов [4]:

(41)

(42)

(43)

Рассчитаем коэффициенты Sn. Согласно [4] имеем:

(44)

(45)

(46)

(47)

(46)

Зная коэффициенты, запишем дифференциальное уравнение ошибки.

(48)

Зная возмущающее воздействие, найдем производные, подставим в уравнение ошибки и получим саму ошибку.

(49)

(50)

(51)

(52)

Рисунок 4. График ошибки регулирования.


Литература.

1. Коновалов Г.Ф. Радиоавтоматика–М.: В.Ш., 1990. – 335с.

2. Конспект лекций за 2004.

3. Лявданский С.Е. Методическое пособие Радиоавтоматика–Н.: НГТУ, 1990.–33с.

4. Лявданский С.Е. Методическое пособие Радиоавтоматика–Н.: НГТУ, 1995.–35с.

5. Первачев С.В. Радиоавтоматика–М.: Радио и связь, 1982. – 295с.   

6.  Радиоавтоматика / под редакцией  Бессекерскрго –М.: В.Ш., 1985.–270с