Методы обработки прямых равнорассеянных измерений

Цель работы:

Ознакомиться с методами обработки прямых равнорассеянных измерений и получить практические навыки по их использованию.

1.Генерирование случайных чисел

а) Нормальное(Гауссово) распределение

Величина y имеет нормальное распределение,. плотность вероятности задается выражением

Зададимся следующими параметрами:

Количество измерений

Мат. ожидание

СКО

График плотности распределения

Построим гистограмму. Гистограмма представляет собой столбцовую диаграмму, высота каждого столбца которой определяется частотой попадания выборочных значений в соответствующий интервал. Гистограмма является эмпирическим, или выборочным, аналогом таблицы или плотности распределения.

Как видно из графика, гистограмма по форме практически совпадает с графиком плотности распределения, что говорит о правильности построения.

б)Равномерное распределение

Равномерное распределение  - плотность вероятности равна постоянна на заданном интервале наблюдения.

Интервал наблюдения:        

Плотность распределения:

Гистограмма:

в) Распределение Стьюдента

Если x₁,x₂…x_n распределены по нормальному закону, то величина

                                                                     (1)

распределена по закону Стьюдента с (n-1)-ой степенью свободы, плотность вероятности которого:

                                             (2)

в (1) и (2) ; ;  - гамма функция. Величину S² называют выборочной дисперсией совокупности величин x₁,x₂…x_n.

График плотности распределения

Гистограмма:

2. Зависимость мат. ожидания и дисперсии от количества измерений.

Мат. ожидание и дисперсия для всех 3х случаев вычисляем по формуле:

.

Дисперсия по формуле:

Построим графики зависимостей:

А) Нормальное распределение

Б) Равномерное распределение

В)

Как видно, при увеличении количества измерений мат.ожидание и дисперсия всё больше начинают стремиться к некоторой постоянной величине.

В случае А)Нормального распределения x_ср с увеличением числа измерений приближается к постоянной величине, равной μ=10, заданной ранее.

В случае Б) равномерного распределения, как можно видеть из графика плотности распределения, среднее значение x должно быть равным . Это подтверждается графиком зависимости мат.ожидания от количества измерений.

В случае В) распределения Стьюдента мат.ожидание равно 0.

3) Рассчитать вероятности попадания случайной величины х в интервал 9..1 для данных распределений.

А) Нормальное распределение:

Вероятность очень велика – 95,4%. Это объясняется тем, что мат.ожидание в данном распределении равно 10 и плотность распределения сосредоточена в данном интервале (9…11).

Б) Равномерное распределение

Вероятность попадания в данный интервал равна 100%, т.к. случ.величина равномерно распределена на интервале 9…11.

В) распределение Стьюдента.

Вероятность стремится к 0, т.к.плотность распределения вероятности сосредоточена ок 0,в интервале -5…5. Это подтверждается значением вероятности:

.