Четырехмерный мир (пространство Минковского). Релятивистская динамика, страница 3

Выясним направление импульса. В любой ИСО пространство само по себе одинаково во всех направлениях (изотропно). Единственным выделенным направлением, связанным с частицей, является направление ее движения. Это значит, что импульс частицы должен лежать вдоль этого направления. По традиции ориентируем вектор импульса по направлению скорости частицы (другой выбор не изменит существа дела).

Итак, общее выражение для импульса должно иметь вид . Для определения  рассмотрим столкновение двух одинаковых частиц. Всегда можно найти систему отсчета, в которой скорости частиц до столкновения равны и противоположны по направлению. В этом случае, очевидно, полный импульс до столкновения равен нулю. После столкновения частицы должны так же двигаться во взаимно противоположных направлениях с равными скоростями. В противном случае полный импульс не сохранялся бы при столкновении в нарушение принятого требования. Ограничимся случаем упругих соударений. При упругих столкновениях (по определению) никаких изменений с частицами не происходит, они остаются прежними. Это значит, что должна сохранятся энергия, связанная с движением. Следовательно, при упругом соударении каждая частица изменит лишь направление своего движения, не меняя скорости.

Прежде чем продолжить рассмотрение, определим 4-импульс частицы по аналогии с трехмерным определением

 ,                                                    (6) где m – величина, характеризующая частицу. Потребуем, чтобы при малых скоростях пространственная часть 4-импульса переходила в обычный классический импульс. Отсюда ясно, что m – это масса в смысле, в каком ее понимают в классической механике. В некоторых изложениях теории относительности классическое выражение для импульса исправляется путем введения «релятивистской массы», зависящей от скорости таким образом, чтобы можно было продолжать пользоваться формулами классической механики, например . Эта масса определяется как . Здесь m носит название «массы покоя». Особого, отдельного от m смысла «релятивистская масса» в теории не имеет и в этом отношении является лишней. Сказанное получает все более широкое признание. Поэтому под термином «масса» нами будет пониматься не зависящая от скорости величина m.

Рассмотрим сумму 4-импульсов частиц до столкновения , и после столкновения . Пространственные компоненты обеих сумм равны нулю, временные одинаковы и равны . Таким образом можно записать

 . Слева и справа от знака равенства стоят 4-вектора. Это значит, что данное равенство сохранится и в любой другой ИСО. Причем равенство выполняется для каждой компоненты по отдельности. Если ввести обозначение

 ,                                                               (7) равенство пространственных компонент можно выразить в виде

 .

На примере данного столкновения можно показать, что с требованием сохранения полного импульса во всех ИСО другое выражение вида  не совместимо. Поэтому (7) является единственно возможным выражением для релятивистского импульса. При , как и следовало ожидать, (7) сводится к классическому выражению для импульса . Различие между обоими импульсами становится существенным по мере приближения скорости частицы к скорости света.

Что теперь можно сказать теперь о подтверждении закона сохранения импульса (5) при парных и множественных, упругих и неупругих столкновениях частиц, т.е. всех усложнениях, происходящих при изменении числа и сорта сталкивающихся частиц и характера их столкновений. Импульс был определен таким образом, чтобы он сохранялся при простейших упругих столкновениях. В силу единственности невозможно изменить его, чтобы привести в соответствие с более широким кругом процессов столкновения. Значит, либо измеренные в любых экспериментах изменения импульса равны нулю, и тогда закон сохранения импульса является универсальным, либо изменение импульса отлично от нуля, и в этом случае данные опыта привели бы к революции, опрокинув идею сохранения импульса и кардинально изменив наши представления о природе. Результаты наблюдений и весь совокупный опыт показывают, что изменение равно нулю, т.е. закон сохранения импульса (5) является фундаментальным законом.