Электротехника \ Техническая электродинамика

Напряжения и токи на входе многополюсников, страница 2

В случае отсутствия потерь все величины в правой части действительные и положительные, поэтому .

Следовательно, наклон кривой зависимости реактивного сопротивления от частоты всегда положительный.

Проводя аналогичные рассуждения и выводы можно получить

, то есть кривая зависимости реактивной проводимости от частоты имеет всегда положительный наклон.

Обобщая полученные результаты для многополюсника, получим

, или

Последнее выражение можно привести к виду

где .

В сокращенной форме

Отсюда следует, что

Зависимость изменения реактивного сопротивления от частоты имеет вид, показанный на рис.

Рис. Зависимость реактивного сопротивления от частоты.

Из выше полученных соотношений для и можно сделать следующие выводы:

1. Для устройств без потерь на частоте w = 0 реактивное сопротивление равно нулю, либо равно - ¥. При увеличении w, X` увеличивается, и если для конечных значений w X` стремиться к +¥, то при дальнейшем возрастании w X` переходит через значение - ¥. Между двумя полюсами кривая зависимости X` от частоты пересекает ось абсцисс: полюса и нули чередуются.

2. Функция X`(w) нечетная, так как наклон кривой X`(w) всегда положителен, даже при w = 0. Аналитически это записывается для любой частоты в виде

следовательно,

3. Из теории функций комплексных переменных известно, что две функции, имеющие одни и те же нули и полюсы в какой-либо области, равны с точностью до произвольной постоянной (имеют одинаковые разложения в ряд). Следовательно, на комплексной плоскости сопротивление X` полностью определяется своими полюсами и нулями с точностью до произвольной постоянной.

Выражение, определяющее значение X`, в общем виде как функция частоты, записывается так

, где w₂, w₄, …,w_n_-2 – положительные плюсы,

-w₂, -w₄, …, -w_n_-2 – отрицательные плюсы,

w₁, w₃, …,w₂_n_-1 – положительные нули,

-w₁, -w₃, …,-w₂_n_-1 – отрицательные нули,

А – постоянная.

На основании теории вычетов соотношение для X можно записать в виде

, где L_¥= A, а₀, а₂ … а₂_n_-1 – называются вычетами в полюсах 0, w₂, …,w₂_n_-2.

Значение , поэтому имеем

Или, используя значения вычетов

Из выражений видно, что полюсы для X` становятся нулями для B` , а нули для X` - полюсами для B`.

Если известна функция проводимости, то вычеты а₀,а₁ … а₂_n_-2 могут быть вычислены.

В окрестности точки w₂_i

Наклон функции b`(w) в ее нуле w₂_i равен

отсюда

здесь i = 0, 1, 2…n-1

Первая эквивалентная схема.

Уравнение для X` соответствует ряду параллельных резонансных контуров, соединенных последовательно

Рис. Первая эквивалентная схема (потери равны нулю).

Произвольное слагаемое соответствует параллельному резонансному контуру, причем .

Полное сопротивление параллельного контура без потерь

из сравнения формулы со схемой (рис. ) видно, что

Вторая эквивалентная схема.

Составлена на основании формулы для проводимости B`

Рис. Вторая эквивалентная схема.

Произвольное слагаемое соответствует последовательному резонансному L_iC_i– контуру, причем

Полная проводимость последовательного резонансного контура без потерь составляет

Из сравнения схемы с уравнением для b` видно, что

В большинстве практических случаев рабочий диапазон частот находится вблизи какого-либо одного полюса, а другие полюса находятся достаточно далеко и не оказывают влияния на реактивное сопротивление в рабочем диапазоне частот.

Практически любое СВЧ устройство имеет потери. Можно при выводе учесть и их наличие. При этом вместо jw вводится комплексная частота w_комп .

Однако удобнее предположить, что потери не велики и что количество энергии, рассеиваемой за период СВЧ колебаний, мало по сравнению с запасенной энергией и не оказывает существенного влияния на реактивное сопротивление.

При рассмотрении конкретных задач в таких случаях вводится понятие добротности.

При этом типовой элемент эквивалентных схем состоит из трех элементов вместо двух, как показано на рис.

С_i