Основы теории электромагнитного поля. Направленные электромагнитные волны и направляющие системы, страница 38

                            (6.119)

Уравнения (6.119) представляют собой двумерные уравнения Лапласа. Поля, удовлетворяющие уравнениям Лапласа потенциальные. Это означает, что решения уравнений могут быть выражены через градиент некоторых функций

                                                (6.120)

Для вектора  такое выражение можно не записывать, так как векторы  и  связаны соотношением, непосредственно вытекающим из уравнений Максвелла при

                                       (6.121)

В полярной системе координат уравнение для  может быть записано в виде

                                     (6.122)

При решении уравнения (6.122) методом разделения переменных получаем два решения

                             (6.123)

                                        (6.124)

На поверхности внутреннего проводника и на внутренней поверхности внешнего проводника должно выполняться условие

                            (6.125)

Так как , то легко проверить, что граничным условиям (6.125) не удовлетворяет (6.123) и это решение следует отбросить.

Для второго решения

                   (6.126)

Из (6.126) видно, что существует только радиальная составляющая вектора Е, поэтому условие (6.125) выполняется.

Выражение для вектора  найдем, используя известную связь между поперечными составляющими поля волны ТЕМ.

                          (6.127)

Постоянную  выразим через модуль напряженности электрического поля у поверхности внутреннего проводника, обозначив эту величину .

Из (6.126) при r = R₁ следует

Структура волны ТЕМ, характеризуемая найденными соотношениями (1.126), (1.127), показана на рис. 6.20.

Рис. 6.20. Структура волны ТЕМ в коаксиальной линии передачи

Обычно высшие типы волн в коаксиальной линии передачи очень редко используются. Поэтому для определения диапазона существования только основного типа волны ТЕМ достаточно определить только критическую частоту первой волны высшего типа, следующей за волной ТЕМ.

Как показывает анализ уравнений (6.58) и (6.62) первым высшим типом волны в коаксиальной линии является при любом диаметре внутреннего проводника волна Н₁₁.

В зависимости от соотношения R₁ / R₂ критическая длина волны Н₁₁ изменяется в пределах от 3,41(R₁+R₂) до 3,14(R₁+R₂). При R₁=0 коаксиальная линия превращается в круглый волновод и первым типом в нем является волна Н₁₁ с l_кр = 3,412 R₂. При R1 » R2 коаксиальная линия превращается в прямоугольный волновод с длиной широкой стенки примерно равной 2p(R₁+R₂)/2 = p(R₁+R₂), а распределение поля в таком волноводе соответствует структуре волны Н₂₀. Поэтому l_кр = а = p(R₁+R₂).

Обычно это значение и принимают за значение критической длины волны Н₁₁ в коаксиальной линии передачи. Диаграмма типов волн для коаксиальной линии передачи имеет вид, показанной на рис.6.21.

Рис. 6.21. Диаграмма типов волн для коаксиальной линии передачи

Потенциальный характер электрических и магнитных полей позволяет говорить о полном токе и о напряжении в коаксиальной линии.

Разность потенциалов между центральным и внешним проводниками

                      (6.128)

Ток, текущий по поверхности центрального проводника и по внутренней поверхности внешнего проводника, по закону полного тока равен

           (6.129)

Здесь интеграл берется по контуру, находящемуся на поверхности центрального проводника.

Отношение напряжения  к току  в режиме бегущей волны называется волновым сопротивлением линии

                              (6.130)

Если линия заполнена диэлектриком, то

                     (6.131)

Основные параметры волны в коаксиальной линии определяются теми же выражениями, что и для волн в свободном пространстве и диэлектрике. Передаваемую по коаксиальной линии мощность можно определить как

                                              (6.132)

Заменяя U через Е₀, a Z_в его значением из (6.131), получим

                                      (6.133)

Отсюда выражение для предельной мощности

                                     (6.134)

Предельная мощность тем больше, чем больше размеры линии. На коротких волнах размеры кабеля ограничены, поскольку средний периметр кабеля должен быть меньше длины волны