Основы гидравлического расчета трубопроводных систем на ЭВМ: Методические указания к практическим занятиям по курсам “Проектирование, монтаж и испытание судовых систем” и “Производство и распределение энергоносителей промышленных предприятий”, страница 7

Матрица Q показывает, какие ветви входят в каждое из главных сечений. Для главных сечений графа  на рис.5,а можно записать матрицу сечений:

.                         (14)

Матрица  Q  разбивается на две части: единичную матрицу Е порядка n_д и подматрицу  Q_х  порядка n_д´n_х, которая получается из матрицы главных сечений исключением всех ветвей дерева. Строка Q_х показывает, какие хорды входят в сечение, образованное соответствующей ветвью дерева, а столбец - в какие главные сечения входит хорда.

Составление матрицы Q  равносильно записи по первому закону Кирхгофа независимых уравнением расходов в главных сечениях - элементы матрицы являются коэффициентами уравнений, которые записываются суммированием расходов ветвей сечений. Для сечений графа на рис.5,а имеем:

Коэффициенты этой системы являются элементами матрицы Q. С учетом (14) система уравнений для расходов сечений в матричной форме записывается в виде:

                           (15)

Здесь вектор расходов ветвей:

, где ,  - векторы расходов ветвей дерева и хорд. Каждая строка в системе (15) является уравнением обобщенной формулировки первого закона Кирхгофа одного из главных сечений k=(1…n):

В каждое уравнение входит единственный расход ветви дерева. Поэтому систему (15) всегда можно решить относительно расходов всех ветвей дерева, выразив их через расходы хорд:

                                                   (16)

Для рассматриваемой гидравлической цепи вектор расходов ветвей дерева:

Каждой хорде можно приписать единственный     (базисный) контур, который состоит из одной хорды и нескольких ветвей дерева. При этом эта хорда не входит в другие главные контуры, поэтому уравнение второго закона Кирхгофа для главных контуров будут независимыми. Число главных контуров равно числу хорд: см. уравнение (14). На рис.5,б показаны три главных контура, соответствующих выбранному дереву.

Матрица главных (базисных) контуров, описывающая соединения ветвей, входящих в независимые главные контуры имеет n столбцов и столько строк, сколько контуров имеется в графе. При этом порядковые номера контуров совпадают с номерами хорд. Элементы матрицы равны +1 при совпадении, -1 при несовпадении направления ветви с направлением обхода контура и 0, если ветвь не входит в контур. Направление обхода контура выбирается таким образом, чтобы ему соответствовала ориентация хорды.

Для графа на рис.5,б матрица главных контуров имеет вид:

.                       (17)

Матрица В разбивается на две части: подматрицу В_д порядка n_х´n_д и единичную          матрицу Е порядка n_х. Строка В_д показывает, какие ветви дерева входят в контур, образованный замыканием соответствующей хорды, а столбец – в какие главные контуры входит ветвь дерева.

Составление матрицы  В равносильно записи в соответствии со вторым законом Кирхгофа независимых уравнений потерь напора в главных контурах. Элементы матрицы являются коэффициентами уравнений, которые можно записать, суммируя потери давления в ветвях контуров (см.рис.5,б):

С учетом матрицы (17), получим компактную запись второго закона Кирхгофа для всей цепи:

                           (18)

Здесь вектор потерь напора ветвей:

, где DР_д,DР_х - векторы потерь напора ветвей дерева и хорд. Каждая строка в системе (18) является уравнением второго закона Кирхгофа одного из главных контуров с=(1…n_x):

входит единственная потеря напора хорды. Систему (18) можно решить относительно потерь давлёния всех хорд, выразив их через потери давления ветвей дерева:

.

Для рассматриваемой гидравлической цепи вектор потерь напора хорд:

Матрицы главных сечений и главных контуров связаны между собой - входящие в них матрицы Q_x и B_д определяют друг друга. Для графа на рис.5 имеем:

        ;    

Номера, строк и столбцов Q_x являются соответственно номерами столбцов и строк B_д. Поэтому вторая матрица равна транспонированной первой матрице с обратным знаком:

Связь между матрицами Q_x и B_д, а следовательно между матрицами Q и В   является следствием того, что выбранное дерево однозначно определяет как главные контуры, так и главные сечения. Из (16) и (17) при учете (18) имеем:

  ;