Одномерное дифференциальное уравнение теплопроводности

систем значения физических величин пропорциональны. Например, применительно к температуре можно записать:

                    
(10.10)

где — значения температуры в фиксированных точках 1, 2, 3, ... первой геометрической системы;— то же в сходных точках второй геометрической системы.

Коэффициенты пропорциональности однородных физических величин в сходных точках сравниваемых геометрических систем называют константами подобия.

Для подобия явлений требуется, чтобы были подобны поля всех физических величин, существенных для процесса. Анализ физических явлений с точки зрения существования подобия между ними показывает, что сочетание констант подобия различных физических величин, рассматриваемых явлений, протекающих в сравниваемых геометрических системах, не может быть произвольным, а подчиняется определенным ограничениям. Эти ограничения заключаются в том, что для подобных явлений должны быть равны так называемые критерии подобия — безразмерные комплексы, составленные из размерных физических величин, существенных для данного процесса.

Критерии подобия можно получить преобразованием уравнений, описывающих рассматриваемый процесс, к безразмерному виду. Преобразуем в качестве примера к безразмерному виду одномерное дифференциальное уравнение теплопроводности (8.12):

                    (10.11)

С заменой переменных по соотношениям X =x/l;, =(t—t_ж)/(t_н—t_ж)уравнение   (10.11)  принимает вид

где X — безразмерная координата;  — безразмерная температура; Fo — критерий (число) Фурье, представляющий собой безразмерное время; l — некоторый характерный размер тела, выбранный за масштаб длины.

Явления подобны, если они одной и той же физической природы, описываются одними и теми же уравнениями (обычно дифференциальными) и имеют подобные условия однозначности.

Физический смысл критериев подобия состоит в том, что они выражают соотношение между различными физическими эффектами. Так, полученный выше критерий Фурье представляет собой отношение времени протекания процесса (ф) к характерному времени изменения температурного поля в теле (l²/а).

Все критерии подобия в теории подобия делят на определяющие и определяемые.  Определяющими называют критерии

122