Составление вариантов плана формирования поездов и их статистический анализ с использованием теории вероятности

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ОТКРЫТЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Кафедра "Управление эксплуатационной работой"

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине "Математические модели технологии

работы железных дорог"

Студент: Киселева Н.

Шифр : 0310-    -7168   

Преподаватель:

Москва, 2008 г.

Задача 1

     Для заданного участка полигона сети железных дорог составить варианты плана формирования поездов и провести их статистический анализ с использованием теории вероятности.

Исходные данные

N₁ ¸ N₆ – среднесуточные вагонопотоки назначения.

Законы распределения суточных вагонопотоков:

N₁ – распределение Эрланга 2-й степени.

Функция распределения Эрланга 2-й степени  имеет вид

F(t) = 1-(1+2*l*t)*e^-2*l*t

где l = - интенсивность потока события в единицу времени;

М[x] – математическое ожидание случайной величины;

t – текущее значение случайной величины.

N₄ –показательное распределение.

Функция распределения для показательной функции имеет вид

F(t) = 1-e^-l*t

где l = - интенсивность потока события в единицу времени;

М[x] – математическое ожидание случайной величины;

t – текущее значение случайной величины.

I вариант

Составим план формирования по средним значениям суточного распределения вагонопотоков. Необходимое условие выделения струи вагонопотока в самостоятельное назначение является условие вида

где cm – вагоночасы простоя под накоплением на станции отправления;

SТ_эк – экономия от проследования без переработки всех попутных сортировочных станций.

     Необходимое условие для струй вагонопотоков, которые потенциально можно выделить в самостоятельное назначение:

 - можно выделить в самостоятельное назначение;

 - нельзя выделить в самостоятельное назначение;

 - можно выделить в самостоятельное назначение.

     По этим расчетам строим план формирования (I вариант).

     Оценим вероятность появления суточной струи N₁ ≥ 175 и возможности самостоятельного назначения потока АГ со струей N₁ для функции распределения Эрланга 2-й степени по формуле

Оценим вероятность появления суточной струи N₄ ≥ 276 и самостоятельного назначения потока БГ для показательного распределения.

      Таким образом, выделение струи N₁ в самостоятельное назначение эффективно 53 дня из 100, а выделение  N₄ в самостоятельное назначение эффективно тоже 53 дня из 100 дней.

     В целом вероятность сохранения оптимального плана в случае одновременного наступления событий N₁ ≥ 175 и N₄ ≥ 276 (I вариант плана) равна

Р_I = Р(N_1j ≥ 175) * P(N_4j ≥ 276) = 0,528 * 0,526 = 0,278

I вариант плана показан на рис. 2а.

II вариант

      Пусть N₁ < N_кр = 175, а N₄ ≥ N_кр = 276.

Тогда вероятность события  N₁ < N_кр = 175 определим по формуле

Р (N_1j < 175) = 1 – Р(N_1j ≥ 175) = 1 – 0,528 = 0,472

Оптимальный план II-го варианта имеет вид рис. 2б. Вероятность выполнения такого оптимального плана определим по формуле

Р_II = Р(N_1j < 175) * P(N_4j ≥276) = 0,472 * 0,526 = 0,248

III вариант

     Пусть N₁ ≥ N_кр = 175, а N₄ < N_кр = 276.

Вероятность события N₄ < N_кр = 276 определим по формуле

Р (N_4j < 276) = 1 – Р(N_4j ≥ 276) = 1 – 0,526 = 0,474

План III вариант показан на рис. 2в. Вероятность выполнения III-го варианта плана составит

Р_III = Р(N_1j ≥ 175) * P(N_4j < 276) = 0,528 * 0,474 = 0,250

IV вариант

Пусть N_1j < N_кр = 175, а N_4j < N_кр = 276; N_1j + N_4j < 276. В этом случае план формирования не имеет ни одного сквозного назначения. Этот план показан на рис. 2г. Вероятность этого варианта плана определим следующим образом.

      Вероятность события N_1j + N_4j < 276 равна вероятности попадания точки М с координатами Х = N_1j и Y = N_4j в площадь, ограниченную осями координат и прямой с уравнением Х + Y = 276 при известных законах распределения координат Х и Y (рис.1.). Для этого треугольник Оаb разбиваем на элементарные прямоугольники со сторонами параллельными осям координат и последовательно оцениваем вероятность попадания точки в каждый элементарный прямоугольник. Например, вероятность попадания в первый прямоугольник- Оb¢b²c равна произведению вероятностей

X₁ = N_1j < 46 и Y₁ = N_4j < 253:

Вероятность попадания во второй прямоугольник равна произведению вероятностей 46 < X < 92 и Y < 207:

и т.д.

Суммарная вероятность появления IV варианта плана формирования

Р_IV = Р₁ + Р₂ + Р₃ + Р₄ + Р₅ + Р₆  =

= 0,0029+0,053+0,046+0,033+0,018+0,005 = 0,158

V вариант

     Пусть N_1j < N_кр = 175, а N_4j < N_кр = 276; N_1j + N_4j ≥ 276.

Вероятность такого плана определим по формуле

P_V = 1 – (Р_I + P_II + P_III + P_IV) = 1 – (0,278 + 0,248 + 0,250 + 0,158) = 0,066

Вариант такого плана формирования показан на рис. 2д.

Вывод

     В течение года различные планы формирования выгодны по следующим условиям:

I вариант           0,278 * 365 = 102 дня

II вариант          0,248 * 365 = 90 дней

III вариант         0,25 * 365 = 91 день

IV вариант          0,158 * 365 = 58 дней

V вариант           0,066 * 365 = 24 дня

     Первые три варианта планов имеют приблизительно равноценное значение. В соответствии с этим целесообразно иметь в течение года следующие планы формирования: сочетание планов I, II и III варианты.

Литература

1.Абрамов А.А. Математические модели технологии работы железных дорог. Задание на контрольную работу с методическими указаниями. М., РГОТУПС, 2003.

2.Абрамов А.А. Математическое моделирование транспортных процессов: Уч. пособие – М.: РГОТУПС, 2003.