Понятие об устойчивости решений однородных дифференциальных уравнений с систем однородных ДУ, страница 2

7.3.   Простейшие типы точек.

       Исследуем расположение траекторий в окрестности точки покоя системы 2 линейных однородных уравнений  с постоянным коэффициентом.

,     (7.7)   

где

Имеем решения в виде . Для определения  k пишем характеристическое уравнение:

или

.

Числа  с точностью до постоянного множества определяется из одного уравнения:

, (7.8)

а) Корни характеристического уравнения k1 и k2  действительны и различны. Общее решение имеет вид:

  (7.9),

где  - постоянные, определяемые из уравнения (7.8), соответственно при  и при , а  - произвольные постоянные.

При этом возможны следующие случаи:

Рис. 7.1.

Движение к центру

 

Рис. 7.2.

Движение от центра

 
1) если  k1 и k2<0, то точка покоя х=0,  у=0  асимптотически устойчива из-за наличия множителей , так как точки,  лежащие в любой  окрестности начала координат при достаточно большом t переходят в точки, лежащие в  окрестности начала координат.  На рисунке 7.1 изображено расположение траектории для точки покоя

д                    

данного типа, называемой  устойчивым узлом. Стрелками показано направление движения траектории при возрастании t.    

2) k1 0  и   k2 0.  Этот случай переходит в предыдущее при замене t  на (-t), поэтому траектории будут те же, только движение в обратном направлении (рис. 7.2).

          Точки близкие к началу координат  будут отдаляться , значит точка покоя – неустойчивый узел.

          3)  Если k1 0  и   k2 0,  то точка покоя тоже неустойчива, т.к. движущаяся по траектории   (7.10)

Рис. 8.3.

 
 точка  при сколь угодно малых значениях С1  (7.10)  выходит из   окрестности начала координат при   . Однако, существуют и движения приближающееся к началу координат, а именно :

- движение по этой прямой к началу координат. Движение (7.10)  по прямой           

от начала координат.

Если же С1   и С2  ≠ 0, то при   траектории  покидают окрестности начала координат , такая точка покоя называется седлом, так как расположение  траектории в её окрестности напоминает линии уровня в окрестности седлообразной точки некоторой поверхности.

б) Корни характеристического уравнения комплексны

Общее решение системы (7.7)  можно записать в виде

Где  С1   и С2  - произвольные постоянная, С1*   и С2*  - некоторые линейные комбинации этих постоянных.

Возможны следующие случаи:

· 

 Если бы было , то траекториями были бы замкнутые кривые, окружающие точку покоя (Рис. 7.4.).

Наличие направляющегося к 0  множителя превращает замкнутые кривые в спирали, асимптотически приближающиеся к началу координат (рис. 7.5.)

Точка покоя – асимптотически устойчива, она называется фокусом.

·  .

          Этот случай переходит в предыдущий при замене t на (-t) и движение будет в обратную сторону (от начала координат). Точка покоя неустойчива, т.к. отдаляется от начала координат.

· 

·  .

          Траекториями являются кривые, содержащие точки покоя, называют в этом случае центром (Рис 8.4). Эта точка устойчива, но асимптотической устойчивости нет.

в) Корни кратны

Общее решение имеет вид ,

причем не исключен случай , но тогда  будут произвольными постоянными.

Точка покоя называется устойчивым узлом (Рис. 8.7).

          Точка покоя асимптотически устойчива.

          Если, то получаем устойчивый узел, он называется дикритическим узлом (Рис. 8.8)

· 

Замена переменных t на (-t) сводит к предыдущему случаю, только движение по траектории будет направлено в другую сторону, точка покоя называется неустойчивым узлом. Тем самым исчерпаны  все  возможности, т.к. случай  (или ) исключается условием .

Пусть , тогда решение системы (7.7) имеет вид:

Исключая tполучим семейство параллельных прямых:

.

Точка покоя устойчива, если , но асимптотической устойчивости нет и при движение происходит, приближаясь к точке покоя: .

          При  движение происходит в обратном направлении и точка покоя неустойчива.

          Если , то возможно два случая:

1.  Общее решение системы (7.1) имеет вид:

.

Т.е. все точки являются точками покоя, все решения устойчивы

             2. ,

 - линейные комбинации производных постоянных . Точка покоя  неустойчива.