Решение многомерных линейных задач теплопроводности. Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена. Теплообмен в двухфазных средах. Зависимость теплового потока от температурного напора (кривая кипения)

Решение многомерных линейных задач теплопроводности.

Температурное поле рассматриваемой заготовки описывается с помощью линейного двумерного уравнения теплопроводности

c граничными условиями первого рода в плоскостях симметрии и третьего рода на поверхности.

Для решения предложенной задачи были реализованы в виде программы различные методы  математического моделирования [1, 2]. Выявлены характерные критерии оценки рассматриваемых методов с точки зрения их сходимости, устойчивости, близости получаемых решений к аналитическому.

Проведенное расчетное исследование показало, что наилучшие результаты дает метод расщепления, сочетающий в себе высокую точность полученных результатов, по отношению к аналитическому решению (рис. 1), малое время работы и небольшой объем занимаемой оперативной памяти (Таблица 1).

Рис 1. Решение уравнения теплопроводности аналитическим методом и методом расщепления.

Таблица 1. Показатели эффективности, полученные при программной реализации различных методов решения многомерной линейной задачи теплопроводности.

Решение многомерных нелинейных задач теплопроводности.

В случае введение температурной зависимости теплопроводности l и теплоемкости с основное  уравнение теплопроводности (1) становится нелинейным относительно температуры и выглядит следующим образом:

Данная постановка нелинейной задачи предполагает сведение ее к линейной в случае явной зависимости  l = l(Т). Линеаризация проводилась с помощью прямого и итерационного методов. Прямой метод оказался эффективным для небольшой зависимости теплопроводности от температуры. Итерационный метод, напротив, показал наилучшие результаты в случае резкой температурной зависимости теплофизических характеристик, поскольку линеаризация, в рамках данного подхода, выполняется на каждом временном интервале.

Нелинейность граничных условий, является  результатом излучения на поверхности металла. Применение метода конечных разностей приводит к системе уравнений, где лишь одно из балансовых уравнений является нелинейным. Его решение проводится с помощью итерационных методов [1,2]. Наилучшие результаты показал метод Ньютона, который имеет более высокую сходимость и лучше ведет себя в широком температурном и временном диапазоне. Количество итераций, требуемых для метода Ньютона существенно меньше, чем для других методов.

Таким образом, в данной работе разработан программный модуль, с помощью которого было проведено решение  задач  многомерной теплопроводности на  основе традиционных методов математического моделирования и осуществлен сравнительный анализ показателей эффективности  этих методов на примере двумерной задачи.

Задача теплопроводности:распределение температуры внутри тела