Численные методы решения нелинейных уравнений (с помощью Excel)

Лабораторная работа по информатике: «Численные методы решения нелинейных уравнений»

Выполнил: Гаврилин Дмитрий,                                                                         студент 421 группы

Цели работы: 1) С помощью Excel построить таблицу, график цункции и вывести результаты.

2) Найти значение Х, при котором функция достигает своего минимального значения с помощью метода «Золотого сечения»; найти значение функции в точке минимума; найти значение производной функции в точке минимума; определить, за какое число итераций функция достигает своего минимального значения.

3) Выводы.

Excel: построение таблицы, графика и вывод результатов.

Метод золотого сечения.

Код пограммы:

1.

program se4enie

real x1,a,b,t,x,f,x2

external f

eps=0.001

t=(sqrt(5.)-1)/2

print*,'zna4enie t:',t

print*,'granitsi intervala a,b'

read*,a,b

x1=a+(1-t)*(b-a)

x2=a+t*(b-a)

do while (abs(a-b)>eps)

if (f(x1)<=f(x2)) then

b=x2

x2=x1

x1=a+(1-t)*(b-a)

else

a=x1

x1=x2

x2=a+t*(b-a)

end if

end do

x=(a+b)/2

print*,'3na4enie 3kstremuma:',x

print*,'3na4enie funkzii f(x):',f(x)

read*,a

end

2.

function f(x)

real f,x

f=x**3+4.81*x**2-7.37*x+0.55

end

Результаты:

Выводы:

Золотым делением отрезка называется деление отрезка на 2 части таким образом, что отношение большей части к меньшей равно отношению длины всего отрезка к большей части.

 =

Алгоритм поиска золотого сечения:

1)  Начальный интервал неопределённости (а₀,в₀) делим двумя точками (х₁,х₂) по правилу золотого сечения х₁=а₀+(1-t)*(в₀-а₀)

х₂= а₀+t*(в₀-а₀)

t= » 0,618

2)  Вычисляем значение функции в точках х₁ и х₂

y₁=f(х₁)       y₂=f(х₂)      

3)  Если y₁< y₂, очевидно точка минимума расположена на отрезке (а₀,х₂), поэтому (х₂,в₀) отбрасываем, сузив тем самым интервал неопределённости. На отрезке (а₀,х₂) снова выбираем две точки, но одна точка осталась от предыдущего деления, поэтому достаточно выбрать одну точку и рассчитать в ней значение функции а₁=а₀       в₁=х₂     х₂=х₁

4)  Если y₁> y₂, очевидно точка минимума расположена на отрезке (х₁,в₀) и тогда а₁=х₁       в₁=в₀     х₁=х₂

5)  Следуя разработанной схеме находим отрезки (а₂,в₂), (а₃,в₃) и т.д.

Процесс оптимизации повторяется до тех пор, пока Ia_n-b_nI≤eps

В качестве решения задачи принимается либо середина последнего интервала неопределённости, либо правая или левая граница.

Метод является медленным, но всегда сходящимся к решению задачи.