Изучение методов нахождения корней нелинейного уравнения вида f(x)=0

Лабораторная работа по информатике:
«Численные методы решения нелинейных уравнений»

                                       Выполнил: Гаврилин Дмитрий,
                                                                        студент 421 группы

Цели работы:

1) Изучить методы нахождения корней нелинейного уравнения вида f(x)=0, где f(x) - некоторая непрерывная функция.

Методы, использованные в данной лабораторной работе:

Excel:

 -построение таблицы, графика и вывод результатов

Fortran:

-метод половинного деления
-метод касательных
-zreal

2) Сравнить результаты данных методов

3) Выбрать наиболее точный метод

Excel: построение таблицы, графика и вывод результатов.

x	y=f(x)
-7	-55,2
-6,8	-41,4
-6,6	-28,8
-6,4	-17,4
-6,2	-7,2
-6	1,9
-5,8	10,0
-5,6	17,0
-5,4	23,1
-5,2	28,3
-5	32,7
-4,8	36,2
-4,6	38,9
-4,4	40,9
-4,2	42,3
-4	43,0
-3,8	43,1
-3,6	42,8
-3,4	41,9
-3,2	40,6
-3	39,0
-2,8	36,9
-2,6	34,7
-2,4	32,1
-2,2	29,4
-2	26,5
-1,8	23,6
-1,6	20,6
-1,4	17,6
-1,2	14,6
-1	11,7
-0,8	9,0
-0,6	6,5
-0,4	4,2
-0,2	2,2
0	0,6
0,2	-0,7
0,4	-1,6
0,6	-1,9
0,8	-1,8
1	-1,0
1,2	0,4
1,4	2,4
1,6	5,2
1,8	8,7
2	13,1

Корень	Значение корня	Значение функции
1.	-6,04437	-0,0000064
2.	0,078739	0,0000032
3.	1,155627	-0,0000311

Fortran: метод половинного деления.

Текст программы:

1.

program piw

real a,f,x,eps,b

external f

print *,'wwedite 3na4enie pogrewnosti='

read *,eps

do i=1,3

print *, 'wwedite 3na4enie a='

read *,a

print *,'wwedite 3na4enie b='

read *,b

if (f(a)*f(b)>0) then

print *,'kornei net'

else

call bisection (a,f,x,eps,b,n)

print *,'x=',x

print *,'f=',f(x)

print *, 'n=',n

end if

end do

enddo

end

2.

subroutine bisection (a,f,x,eps,b,n)

n=0

do while ((abs(f(x))>eps) .or. (abs(a-b)>eps))

n=n+1

x=(a+b)/2

if (f(x)*f(a)<0) then

b=x

else

a=x

end if

end do

end

3.

function f(x)

real f,x

f=x**3+4.81*x**2-7.37*x+0.55

end

Результаты:

X1=-6.044385

X2=7.871094E-02

X3=1.155664

Fortran: метод касательных.

Текст программы:

1.

program     piupiupiupiu

real x,eps,fx,xn

integer n

eps=0.001

print *,'vvod korney'

do i=1,3

print *,'x='

read *,x

n=0

do

xn=x-f(x)/f1(x)

if (abs(x-xn)<=eps.and.abs(f(xn))<=eps) exit

x=xn

n=n+1

end do

x=xn

fx=f(x)

print *,'x=',x

print *,'f=',fx

print *,'n=',n

end do

end

2.

function f(x)

real f,x

f=x**3+4.81*x**2-7.37*x+0.55

end

3.

function f1(x)

real f1,x

f1=3*x**2+9.62*x-7.37

end

Результаты:

X1=-6.044371

X2=7.873945E-02

X3=1.155631

Fortran: zreal.

Текст программы:

1.

program piwpiw

use msimslms

parameter (n=3)

external f

real errabs,errrel,eps,eta,f,xg(n),x(n)

integer info(n)

print*,'wwedite 3 na4alnix priblijeni9'

read*,(xg(i),i=1,n)

errabs=0.001

errrel=0.001

eps=0.001

eta=0.001

itmax=100

call zreal(f,errabs,errrel,eps,eta,n,itmax,xg,x,info)

print*,'korni',(x(i), i=1,n)

print*,'znachenie functsii',(f(x(i)),i=1,n)

print*,'kol-vo iteratsiy',(info(i),i=1,n)

end

2.

function f(x)

real f,x

f=x**3+4.81*x**2-7.37*x+0.55

end

Результаты:

X1=-6.04437

X2=7.873943E-02

X3=1.155631

Выводы:

1) При вычислении корней нелинейного уравнения средствами Excel сами корни уравнения более наглядно можно посмотреть на графике функциит. Тем Excel и лучше.

2) Метод половинного деления является довольно медленным, но всегда сходящимся к решению задачи, так как на каждой итерации отрезок делится пополам и после n итераций уменьшается в 2n раз.
3) Подпрограмма ZREAL выполняет поиск вещественных корней. Это наиболее точный метод из всех.
4) Метод касательных заключается в том, что он приближенно заменяет функцию f(x) касательной к ее графику в точке хn. Выбрав начальные приближения x0, строится касательная к графику функции. Точка пересечения касательной с осью абсцисс будет являться очередным приближением к корню и итерационный процесс будет выполняться до тех пор, пока Ixn+1 – xnI < и If(xn)I<. Это точный, но сложный метод.