Приближенное вычисление определенных интегралов

Страницы работы

8 страниц (Word-файл)

Содержание работы

Министерство образования и науки Украины

Национальный аэрокосмический  университет им. Н.Е. Жуковского «Харьковский авиационный институт»

Кафедра 304

Лабораторная работа №3

По курсу «Численные методы»

По теме:  «Приближенное вычисление определенных интегралов»

Выполнил:

студент 325 группы

Меняйлов Евгений

Проверила:

Яровая О.В.

___________________

Харьков 2010

Теоретические сведения

Ручной счет

Лабораторная работа №3

«Приближенное вычисление определенных интегралов»

            Цель работы.Вычислить заданный определённый интеграл  по формулам трапеций, Симпсона, средних, правых, левых прямоугольников при .Оценить погрешность полученных результатов.

Программная реализация в MathCad.

Исходные данные.

2. Вычисление определенного интеграла с помощью стандартной функции.

3. Программный блок, реализующий вычисление приближенного значения определенного интеграла.

            1. Формула Симпсона.

            2. Формула трапеций.

            3. Формула средних прямоугольников.

            4. Формула правых прямоугольников.

            5. Формула левых прямоугольников.

1. Табулирование функции на заданном промежутке [a,b].

4. Вычисление априорной погрешности вычислений.

5. Вычисление апостериорной погрешности вычислений.


Программная реализация в MatLab.

Вычисление определенного интеграла с помощью встроенной функции.  

>> I = double(int((x^2+1.8)/(x^3+7.9),2,4.4))

I =

   0.71276735214085

Программный блок, реализующий приближенное вычисление определенного интеграла.


function res = f(x);

res = (x^2+1.8)/(x^3+7.9);

end

----------------------

function res = Integral(str, a , b, n);

%str - methods name, a,b - distance, n - number of points

h = (b-a)/n;

Sum = 0;

 switch (str)

     case  'Simpson'

       q1=0; q2=0;

       for i = 1:n-1

            if (mod(i,2)==1)

q1 = q1+f(a + i*h);

            else q2 = q2+f(a + i*h);

            end;       

       end;

Sum =(h/3)*( f(a) + 4*q1 + 2*q2 + f(b));

     case  'Trapezium'

        for i = 1:n-1

            Sum = Sum + f(a + i*h);

        end;

     Sum = (h/2)*( f(a) + 2*Sum + f(b));

     case  'LeftRectangles'

        for i=1:n-1

            Sum = Sum + h*f(a + i*h);

        end;

        Sum = h*f(a) + Sum;

     case  'RightRectangles'

        for i=1:n-1

            Sum = Sum + h*f(a + i*h);

        end;

        Sum = h*f(b) + Sum;

     case 'MediumRectangles'

        for i=1:n

Sum = Sum + h*f(((a + (i-1)*h)+(a + i*h))/2);

        end;

     otherwise

       error('This is impossible value')

 end

 res = Sum;

return


----------------------------------------------------------------------------------------

Результатывычислений.


>> format long

>> IS = Integral('Simpson',2,4.4,12)

IS =

   0.71276572838571

>> IT = Integral('Trapezium',2,4.4,12)

IT =

   0.71268919512492

>> IRR = Integral('RightRectangles',2,4.4,12)

IRR =

   0.69894336360573

>> ILR = Integral('LeftRectangles',2,4.4,12)

ILR =

   0.72643502664411

>> IMR = Integral('MediumRectangles',2,4.4,12)

IMR =

   0.71280628137761


-------------------------------------------------

Программный блок, реализующий вычисления априорной погрешности.

function res = Priori_Error(str,a,b,n);

       switch (str)

     case  'Simpson'

        R = abs(Integral(str,a,b,n)-Integral(str,a,b,0.5*n))/15;

     case  'Trapezium'

        R = abs(Integral(str,a,b,n)-Integral(str,a,b,0.5*n))/3;

     case  'LeftRectangles'

        R = abs(Integral(str,a,b,n)-Integral(str,a,b,0.5*n));

     case  'RightRectangles'

        R = abs(Integral(str,a,b,n)-Integral(str,a,b,0.5*n));

     case 'MediumRectangles'

        R = abs(Integral(str,a,b,n)-Integral(str,a,b,0.5*n))/3;

       otherwise

       error('This is impossible value')

     end;

  res = R;

  return

-------------------------------------------------

Результатывычислений.

>> Priori_ErrorIS = Priori_Error('Simpson',2,4.4,12)

Priori_ErrorIS =

    6.09223154409324e-004

>> Priori_ErrorIT = Priori_Error('Trapezium',2,4.4,12)

Priori_ErrorIT =

    0.02974307927841

>> Priori_ErrorIRR = Priori_Error('RightRectangles',2,4.4,12)

Priori_ErrorIRR =

    0.02984543130157

>> Priori_ErrorILR = Priori_Error('LeftRectangles',2,4.4,12)

Priori_ErrorILR =

    0.08923623173681

>> Priori_ErrorIMR = Priori_Error('MediumRectangles',2,4.4,12)

Priori_ErrorIMR =

    3.08922898968129

-------------------------------------------------

Программный блок, реализующий вычисления апостериорной погрешности.


function res = R(str,a,b,n);

    M = zeros(n+1,1);

    h = (b-a)/n;

    ch = [0 1 0 1.8];

    zn = [1 0 0 7.9];

    switch (str)

     case  'Simpson'

        [q,d] = polyder(polyder(polyder(polyder(ch,zn)))); 

        for i = 1:n+1

          M(i,1) = polyval(q,a + (i-1)*h)/polyval(d,a + (i-1)*h);

        end;

        R = abs(((b-a)*max(abs(M))*(h^4))/180);

     case  'Trapezium'

        [q,d] = polyder(polyder(ch,zn)); 

        for i = 1:n+1

          M(i,1) = polyval(q,a + (i-1)*h)/polyval(d,a + (i-1)*h);

        end;

        R = abs(((b-a)*(h^2)*max(abs(M)))/12);

     case  'LeftRectangles'

        [q,d] = polyder(ch,zn); 

        for i = 1:n+1

          M(i,1) = polyval(q,a + (i-1)*h)/polyval(d,a + (i-1)*h);

        end;

        R = abs((b-a)*h*max(abs(M)));

     case  'RightRectangles'

        [q,d] = polyder(ch,zn); 

        for i = 1:n+1

          M(i,1) = polyval(q,a + (i-1)*h)/polyval(d,a + (i-1)*h);

        end;

        R = abs((b-a)*h*max(abs(M)));

     case 'MediumRectangles'

        [q,d] = polyder(polyder(ch,zn)); 

        for i = 1:n+1

          M(i,1) = polyval(q,a + (i-1)*h)/polyval(d,a + (i-1)*h);

        end;

        R = abs(((b-a)*(h^2)*max(abs(M)))/6);

         otherwise

       error('This is impossible value')

     end;  

    res = R;   

return


Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Отчеты по лабораторным работам
Размер файла:
59 Kb
Скачали:
0