Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Министерство образования и науки Украины

Национальный аэрокосмический университет им. Н. Е. Жуковского

«ХАИ»

Отчёт по лабораторной работе №5

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Цель: используя метод Гаусса (схему единственного деления), решить заданную систему из

             трёх уравнений с тремя неизвестными.

Вычислительная схема:

1. Решение системы уравнений с помощью обратной матрицы:

Если - матрица коэффициентов, - матрица свободных членов и

, то

2. Решение систем уравнений с помощью встроенной функции lsolve(M,v), где M- матрица коэффициентов, v- вектор правых частей.
3. Решение системы уравнений с помощью блока Given\Find :

Его структура следующая:

      Given – начало блока;

      тело блока – несколько конструкций вида АВ1 операция АВ2;

      FIND (список) или MINERR (список) – конец блока;

     АВ1, АВ2 – арифметические выражения либо константы;

     операция – некоторая операция отношения.

     список – перечень переменных, которые необходимо найти.

     С помощью FIND ищут точное решение. Если оно отсутствует, то возникает ошибка.    

     Посредством MINERR всегда будет найдено решение, минимизирующее невязку  

     ограничений. Встроенная переменная ERR содержит величину ошибки.

            Перед решающим блоком необходимо задать начальные условия для всех искомых 

            переменных (можно в векторном виде), соответственно в теле решающего блока

            можно использовать запись уравнений в матричном виде

4.  Решение систем уравнений методом Гаусса:

     Пусть дана система линейных уравнений:

            где _ij – коэффициенты системы, x_j – неизвестные, b_i – свободные члены.

1.  Предположим  (ведущий элемент). Всё первое уравнение поделим на  

      ведущий элемент:

 ()

2.  Последовательно исключаем неизвестное  из каждого -го уравнения ()

     (),()

      Преобразованная система будет иметь вид:

3.  Продолжая процесс, исключаем .Получаем систему из -х уравнений.

На некотором -м шаге получим:

, где  ,    , 

При  происходит исключение  неизвестного из последнего уравнеия.

Окончательно получаем уравнение, которым заканчивается прямой ход:

      Получим треугольную систему:

4.  Обратный ход- решение полученной системы с помощью процесса подстановки:

,