Решение задач: внешние силы, действующие на систему, страница 2

Условие отсутствия проскальзывания дает неравенство , т.е.

. (3.24)

Левая часть неравенства монотонно убывает при изменении угла , правая часть сперва возрастает, а затем убывает. Необходимым условием выполнения (3.24) является его выполнение при и при т.е.

(3.25)

Ответ: , .

16. Работу в рассматриваемой системе (рис. 3.20) совершает только консервативная стационарная сила тяжести , поэтому выполняется закон сохранения полной механической энергии

. (3.26)

Кинетическая энергия системы . Уравнение связи дает условие постоянства длины нити . При введенной системе координат оно примет вид

Дифференцированием по времени получим , т.е. , и

Потенциальная энергия системы

Подставляя полученное выражение в (3.26) имеем для момента попадания точки А в точку К

откуда находим .

Ответ: .

17. Рассмотрим движение груза до попадания на ленту (рис. 3.21). Работу при этом совершает сила тяжести груза. По теореме об изменении кинетической энергии . Так как , работа силы тяжести , то скорость в момент попадания груза на ленту .

Система отсчета связанная с равномерно движущейся лентой, является инерциальной, и в ней вид теоремы об изменении кинетической энергии идентичен: . Так как , , работа силы трения , то путь, пройденный грузом до остановки относительно ленты .

Ответ: .

18. Ввиду гладкости опор работу при падении стержней совершает только их сила тяжести. Рассмотрим момент времени, когда крайние точки стержней достигнут угловых опор (рис. 3.22).

К этому моменту времени по теореме об изменении кинетической энергии

. (3.27)

Кинетическую энергию системы выразим через скорость точки D. Скорость точки D направлена по вертикали вниз, скорость точки А направлена по касательной поверхности между стержнем и опорой (из условия непроницания стержня сквозь опору), т.е. вдоль стрежня. Тогда мгновенный центр скоростей стержня АВ расположен в точке . Кинетическая энергия системы

По теореме Штейнера . Так как , и , то . Угловая скорость стержня , и .

Работа силы тяжести к рассматриваемому моменту времени

Подстановка найденных выражений в (3.27) даст .

Ответ: .

19. По теореме об изменении кинетической энергии . В текущем положении (рис. 3.23) . Момент инерции ( - площадь пластины, - плотность).

Разбивая площадь интегрирования на площадь диска без выреза и площадь выреза получим

Так как , то ,

Работа силы тяжести . Расстояние до центра тяжести пластины . Масса пластины . Тогда .

1) При максимальном отклонении пластины на угол , т.е.

, или .

2) При , ,

, т.е. .

Ответ: 1) ; 2) , .

20. При рассматриваемом качении системы без проскальзывания (рис. 3.24) работа силы реакции опоры и силы трения равна нулю, и работу совершает только сила тяжести системы. По теореме об изменении кинетической энергии системы на рассматриваемом интервале времени

. (3.28)

Кинетическая энергия ( - точка касания диска и плоскости, она является при качении без проскальзывания мгновенным центром скоростей системы). Момент инерции системы стержень-диск

Угловая скорость , и .

Работа силы тяжести (высота центра цилиндра не изменяется, и сила тяжести цилиндра работу не совершает). Поэтому из (3.28) следует .

Ответ: .

21. На участке опускания нити из начального положения в вертикальное (рис. 3.25) натяжение нити может быть найдено из уравнения второго закона Ньютона в проекции на нормаль к траектории точки М: , или

( - длина нити).

Скорость точки М найдем с помощью теоремы об изменении кинетической энергии , или

. (3.28)

Тогда , и натяжение . При .

При абсолютно неупругом ударе о гвоздь скорость точки В нити после удара станет нулевой, а из теоремы об изменении кинетического момента для участка ВМ следует, что скорость точки М за время удара не изменится. В крайнем нижнем положении при она, как следует из (3.28), будет равной .

После начала поворота нижней части маятника около точки В из второго закона Ньютона в проекции на нормаль к траектории точки М следует

. (3.29)

По теореме об изменении кинетической энергии , т.е. . Тогда из (3.29) натяжение нити . при , т.е. при . После отклонения на этот угол подвижная часть нити перестает быть прямолинейной.