Механика \ Теоретическая механика

Теоретическая механика. Решение задач. Часть 2, страница 2

После выхода верхнего конца стержня из воды согласно теореме о движении центра масс в системе координат, показанной на рис. 3.9, , где . Тогда

Общее решение линейного неоднородного уравнения для имеет вид

Из начальных условий следует, что произвольные постоянные , и

т.е. центр масс стержня после выхода его из воды колеблется по вертикали около уровня поверхности воды. Максимальная высота подъема верхнего конца стержня над поверхностью воды

2-й способ. За время движения стержня в воде по теореме об изменении кинетической энергии . Кинетическая энергия поступательно движущегося стержня , работа силы тяжести и архимедовой силы , . Тогда в момент касания верхним концом стержня поверхности воды , и .

После выхода верхнего конца стержня из воды работа силы тяжести и архимедовой силы . В момент наибольшего выхода стержня из воды скорость всех точек поступательно движущегося стержня будет нулевой, и по теореме об изменении кинетической энергии

, т.е., или .

Из последнего квадратного уравнения, оставляя наибольший его корень, имеем

Вышеизложенное показывает, что второй способ дает результат, но не проясняет характера движения стержня.

Ответ: .

8. Рассмотрим движение точки относительно диска. Вид сверху показан на рис. 3.10. Так как во все моменты времени , то , т.е. траекторией точки М относительно диска является окружность с центром в точке и радиуса . Ближайшим и наиболее удаленным от центра диска положениями точки М будут и .

Составляющие относительной скорости точки М

и . В соответствии с уравнениями относительного движения точки в положениях и векторы относительной скорости направлены по касательной к окружности, как показано на рис. 3.10.

Сумма моментов внешних сил, приложенных к системе, относительно оси , равна нулю, поэтому как следствие теоремы об изменении кинетического момента . Кинетический момент системы точка-диск

Скорость точки М по теореме сложения скоростей, учитывая вращательное движение диска, .

Для наиболее близкого к центру диска положения

. (3.9)

В момент времени , соответствующий положению ,

Так как , , , то

В начальный момент времени . Так как , то . Подставив найденные выражения в (3.9), получим ( сонаправлена с осью ).

Для наиболее удаленного от центра диска положения

. (3.10)

В момент времени , соответствующий положению ,

Так как , то .

Далее из (3.10) следует ( противонаправлена оси ).

Ответ: , .

9. 1-й способ. Внешние силы, действующие на систему, показаны на рис. 3.11. Составить уравнение, описывающее движение системы и не содержащее неизвестных сил реакции позволяет теорема об изменении кинетического момента относительно оси , так как моменты .

(3.11)

Кинетический момент системы

Моменты инерции однородных дисков

, .

Мгновенный центр скоростей диска 2 расположен в точке , поэтому , а скорость точки : .

Тогда .

Главный момент внешних сил . Тогда из (3.11) следует

Угловое ускорение .

2-й способ. Теорема об изменении кинетической энергии также позволяет составить дифференциальное уравнение движения системы, не содержащее неизвестных реакций , , так как они приложены в неподвижной точке и не совершает работу.

Кинетическая энергия . При вращательном движении , при плоскопараллельном движении , т.е.

Элементарная работа сил . Поэтому

Так как , то .

Ответ: .

10. Внешние силы, действующие на систему, показаны на рис. 3.12. По теореме об изменении кинетического момента стержня АВ вместе с грузом и ползуном относительно оси

Так как ,

, и реакция направляющих ползуна .

По теореме об изменении кинетического момента всей системы относительно оси

. (3.12)

Так как ,

то из (3.12) следует

Начальные условия к полученному уравнению . Решение для

Из начальных условий следует , т.е.

Ответ: .

11. Рассмотрим произвольный плоский физический маятник (рис. 3.13). Внешние силы показаны на рисунке. Система координат жестко связана с маятником. По теореме об изменении кинетического момента относительно оси .

В отсутствие присоединенной точечной массы , так как , , следует уравнение

. (3.13)

При наличии присоединенной массы в точке с координатами ()

, , и

. (3.14)

Движения маятника без присоединенной точечной массы и с ней совпадают при совпадении уравнений (3.13) и (3.14), то есть при совпадении коэффициентов при линейно независимых и в правых частях этих уравнений. Поэтому