Сплайн-интерполирование расчетных и экспериментальных данных (Глава 10 Методики применения пакета Mathcad для решения научных и типовых общетехнических задач)

      10. Сплайн-интерполирование расчетных и экспериментальных данных

Формирование линейного и кубического сплайн-интерполяторов. Оценка возможности и точности интерполяции.

Ключевые термины раздела 10.

интерполяция данных – построение функциональной или расчетной зависимости по точкам (строительным) данных, восполняющей отсутствующие данные в промежутках между этими точками.

сплайн – интерполяционнаякривая, аппроксимирующая график функции кусками полинома определенной степени на цепочке интерполяционных (строительных) точек, в которых сплайн и ряд его производных равны аппроксимируемой функции и её соответствующим производным. По степени применяемого полинома сплайн называется линейным, параболическим, кубическим и т.д.

L-сплайн, р-сплайн, с-сплайн – кубические сплайны Mathcad, векторы вторых производных которых в наборе интерполяционных точек (vx, vy) формируются функциями соответственно lspline(vx,vy), pspline(vx,vy), cspline(vx,vy).

Под интерполяцией подразумевается создание по ранее полученным расчетным или экспериментальным данным (строительным или опорным точкам) – значениям аргумента х и функции у неизвестного вида (например, границы устойчивости на рис. 7.8) –  некоторой формулы, позволяющей рассчитывать значения функции у при промежуточных между опорными значениях аргумента х.

Интерполяция в Mathcad может быть реализована на основе В-сплайна, кубических сплайнов и кусочно линейной кривой. Рассмотрим последние два вида интерполяции, в которых используется  семь функций:vsL:=lspline(vx,vy), vsp:=pspline(vx,vy), vsc:=cspline(vx,vy), iLs(x):=interp(vsL,vx,vy,x),  ips(x):=interp(vsp,vx,vy,x), ics(x):=interp(vsc,vx,vy,x) и iL(x):=linterp(vx,vy,x).  Первые три предназначены для создания вектора vs вторых производных в опорных точках, представляемых векторами координат vxиvy, для последующего  использования соответственно в L-, p- и c-сплайн-интерполяторах (четвертая, пятая и шестая функции).iLs(x) –  это линейный интерполятор, соединяющий опорные точки отрезками прямых.

10.1. Построение кубических сплайн-интерполяторов

 Построение кривой на примере интерполяции границы области устойчивости на рис. 7.8 разд. 7 – на рис. 10.1:

А – этапы построения; Б – сравнение исходной границы и интерполяционной (в пределах трех знаков после запятой расхождения кривых не наблюдается); В – вычисление конкретных значений затухания в промежуточных точках с использованием интерполяционной формулы nус(q промеж.), равнойinterp(vs,q,nус,q промеж.).

Рис. 10.1. Этапы построения интерполяционной кривой (А), ее использование для построения границы (Б) и для вычисления в отдельных промежуточных между опорными точках (при q = 0,801 и 0,27), (В).                                                                                         На графике для ic(q) шаг по q равен 0, 001 – выбран пакетом Mathcad