Многофакторные задачи оптимизации свойств материалов: Методические указания к лабораторным работам курса «Моделирование и оптимизация свойств материалов и технологических процессов»

Страницы работы

Фрагмент текста работы

часов с точностью 10 минут и для закалки: от 750 до 800 град. С точностью 5 град. методом покоординатного спуска. Параметром оптимизации является предел текучести.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Подавляющее число реальных задач оптимизации, представляющих практический интерес, являются многомерными: в них целевая функция зависит от нескольких аргументов, причем иногда их число может быть весьма большим.

Математическая постановка таких задач аналогична их постановке в одномерном случае: ищется наименьшее (наибольшее) значение целевой функции, заданной на некотором множестве Е возможных значений ее аргументов. В случае, когда целевая функция непрерывна, а множество Е является замкнутой ограниченной областью, остается справедливой теорема Вейерштрасса.

Как и в одномерном случае, характер задачи и соответственно возможные методы решения существенно зависят от той информации о целевой функции, которая нам доступна в процессе её исследования. В одних случаях целевая функция задается аналитической формулой, являясь при этом дифференцируемой функцией. Тогда можно вычислить ее частные производные, получить явное выражение для градиента, определяющего в каждой точке направления возрастания и убывания функции, и использовать эту информацию для решения задачи. В других случаях никакой формулы для целевой функции нет, а имеется лишь возможность определить ее значение в любой точке рассматриваемой области (с помощью расчетов, в результате эксперимента и т. д.). В таких задачах в процессе решения мы фактически можем найти значения целевой функции лишь в конечном числе точек, и по этой информации требуется приближенно установить ее наименьшее значение для всей области.

Рисунок 1 - Поиск наименьшего значения функции методом покоординатного спуска.

Рассмотрим метод покоординатного спуска. Пусть нужно найти наименьшее значение целевой функции u=f (M)=f (х1, х2, . . ., хn). Здесь через М обозначена точка n-мерного пространства с координатами х1, х2, . . ., хn: М = (х1, х2, . . ., хn). Выберем какую-нибудь начальную точку М0 = (x10, x20, … xn0) и рассмотрим функцию f при фиксиро­ванных значениях всех переменных, кроме первой: f1 (x10, x20, … xn0). Тогда она превратится в функцию одной переменной x1. Изменяя эту переменную, будем двигаться от начальной точки x1=xl0 в сторону убывания функции, пока не дойдем до ее минимума при x1=xl1, после которого она начинает возрастать. Точку с координатами (x11, x20, x30,… xn0) обозначим через М1 при этом f(М0)³(М1). Фиксируем теперь переменные: x1=xl1, x330, . . . . . ., хnn0 и рассмотрим функцию f как функцию одной переменной x2: f (x11, x2, x30,… xn0). Изменяя x2, будем опять двигаться от начального значения x220 в сторону убывания функции, пока не дойдем до минимума при x2=x21. Точку с координатами x11, x21, x30,… xn0} обозначим через М2, при этом f (M1 )³ f (М2).

Проведем такую же минимизацию целевой функции по х3, х4, . . ., хn. Дойдя до переменной хn, снова вернемся к x1 и продолжим процесс. Эта процедура вполне оправдывает название метода. С ее помощью мы построим последовательность точек М0, М1, М2, . . ., которой соответствует монотонная последовательность значений функции f(М0)>f(М1)>f(М2)>... Обрывая ее на некотором шаге k, можно приближенно принять значение функции f(Mk) за ее наименьшее значение в рассматриваемой области. Отметим, что данный метод сводит задачу поиска наименьшего значения функции нескольких переменных к многократному решению одномерных задач оптимизации. Если целевая функция f(х1, х2, . . ., хn) задана явной формулой и является дифференцируемой, то мы можем вычислить ее частные производные и использовать их для определения направления убывания функции по каждой переменной и поиска соответствующих одномерных минимумов. В противном случае, когда явной формулы для целевой функции нет, одномерные задачи следует решать с помощью методов, описанных в § 3.

На рисунке 1 изображены линии уровня некоторой функции двух

Похожие материалы

Информация о работе