Определения функций (элементарной, алгебраической, ограниченной на множестве, непрерывной на интервале)

Страницы работы

Содержание работы

Функция называется элементарной, если она получена из основных элементарных функций с помощью конечного числа действий и взятия функции от функции.

Функция называется алгебраической, если она получена из Х с помощью действий +,-,*,/ и возведения в рациональную степень.

Функция не являющаяся алгебраической, называется трансцендентной.

lim x->x0 f(x)=Aóдля любого ξ>0 существует δ>0

δ окрестностью точки х0: О(х0,δ) – множество х, удовлетворяющих следующему неравенству х0-δ<x<x0

Односторонние пределы:

lim x->x0+0=Aóдля любого ξ>0 существует δ>0 так что 0<x-x0<δ =>|f(x)-A|<ξ

lim x->x0-0=Aóдля любого ξ>0 существует δ>0 так что 0<x0-x<δ =>|f(x)-A|<ξ

Функция называется б/м в точке х0, если lim x->x0 f(x)=0 (lim x->x0 f(x)=0óдля любого ξ>0 существует δ>0 так что 0<|х-x0|<δ =>|f(x)|<ξ)

Функция называется б/м при х->∞, если lim x->∞ f(x)=0 (lim x->∞ f(x)=0óдля любого ξ>0 существует N>0 так что |х|>N =>|f(x)|<ξ)

Функция называется б/б в точке х0, если lim x->x0 f(x)= ∞ (lim x->x0 f(x)= ∞óдля любого M>0 существует δ>0 так что 0<|х-x0|<δ =>|f(x)|>M)

Функция называется б/б при х->∞, если lim x->∞ f(x)= ∞ (lim x->∞ f(x)= ∞óдля любого M>0 существует N>0 так что |х|>N =>|f(x)|>M)

Функция F(x) называется ограниченной на множестве Х, если существует М>0 для любого х€Х, |F(x)|≤M

Функция F(x) называется ограниченной в δ окрестности, если существует М>0 для любого х€О(х0,δ), |F(x)|≤M

Функция не являющаяся ограниченной на множестве Х, является неограниченной на этом множестве.

Последовательностью называется функция натурального аргумента.

Сравнить две б/м ά и β – это значит найти lim ά/β

Функция y=F(x) называется непрерывной в точке х0, если 1)она определена в этой точке и некоторой её окрестности; 2)lim x->x0 f(x)=f(x0)

Функция F(x) называется непрерывной слева (справа) в точке х0, если 1)она определена в точке х0 и в левой (правой) полуокрестности; 2)lim x->x0±0 f(x)=f(x0)

Функция называется непрерывной на интервале (a,b), если она непрерывна во всех точках этого интервала

Функция называется непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, в точке а справа и в точке b слева

Разрыв I рода называется устранимым, если односторонние пределы равны, если не равны, то разрыв называется неустранимым и разница между этими неравными односторонними пределами называется скачком функции

r≥0        r=√(x2+y2); φ=arctg(y/x)

x=rcosφ; y=rsinφ

x(x->x0)~sinx, arcsinx, tgx, arctgx, ex-1, ln(1+x)

1-cosx(x->0)~x2/2; a2-1~x-lna; (1+x)m-1(m€R)~mx

Похожие материалы

Информация о работе