Остаточный член ряда Фурье. Погрешности приближения функций. Численное дифференцирование, страница 2

14.Численное дифференцирование.

Необходимость численного дифференцирования возникает, если дифференцируемая функция задана таблично или в виде сложного аналитического выражения, от которого по известным правилам математически нельзя взять производную.     Пусть f(x) функция принадлежит классу непрерывных, дифференцируемых функций и представлена на интервале [a,b] в виде некоторой реализации (таблицы) , f(x_i), iÎ[0,N] причем x_i+1-x_i=h , iÎ[0,N-1]что, как правило, имеет место при решении практических задач. Разложим f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x_i      f(x)=f(x_i) + f ’(x_i)(x-x_i)/1! + f ‘’(x_i)(x-x_i)²/2! + … + R(x), где R(x) – остаточный член ряда Тейлора.     Если на элементарном интервале [x_i,x_i+1] ограничиться двумя членами ряда Тейлора, то можно записать f(x_i+1) = f(x_i) + hf ‘(x_i) + R(x) , откуда f ‘(x_i) @ [f(x_i+1) – f(x_i)]/h а методическая погрешность дифференцирования, определяемая через R(x) , может быть оценена в виде e₁£(h/2) max |f ‘’(x)| где xÎ[x_i, x_i+1].      Однако, поскольку реализация f(x_i) , iÎ[0,N] практически всегда содержит случайные погрешности df(x_i), iÎ[0,N] , дифференцированию подлежит на самом деле функция f_*(x_i)=f(x_i)+df(x_i).     При этом производная вычисляется в виде f_*’(x_i)@(f(x_i+1)-f(x_i))/h + (df(x_i+1)-df(x_i))/h .     Уменьшение шага h , с одной стороны , приводит к увеличению точности вычисления производной ( в пределе, при h->0 получается истинное значение _ , с другой стороны , увеличивает близость значений f(x_i+1) и f(x_i) . Таким образом, при уменьшении h в первом слагаемом будут  вычитаться очень близкие друг к другу числа, в результате чего верные значащие цифры могут привестись, а обрабатываться будут вычислительные погрешности, а второе слагаемое при h->0 неограниченно возрастает. Данное положение приводит к тому , что решение задачи численного дифференцирования становится неустойчивым , что нарушает корректность постановки задачи.     Регуляризацию можно осуществить путем ограничения шага h снизу. В частности, если не принимать во внимание вычислительную погрешность и учитывая, что |df(x_i)|£D, iÎ[0, N] , шаг дифференцирования рекомендуется выбирать при условии e₁£(h/2) max |f ‘’(x)| где xÎ[x_i, x_i+1] в виде h @ 2(D/M₂)^1/2, M₂=max|f ‘’(x)| где xÎ[a,b] .      Выражение f ‘(x_i) @ [f(x_i+1) – f(x_i)]/h с погрешностью e₁£(h/2) max |f ‘’(x)| где xÎ[x_i, x_i+1] представляет собой формулу численного дифференцирования первого порядка точности ( относительно h ).     Производные могут вычисляться по формулам дифференцирования второго порядка точности, которые для первой и второй производных записываются в виде f ‘(x_i) @ [f(x_i+1) – f(x_i-1)]/(2h) , e2 £ (h²/6)max |f⁽³⁾(x)| где xÎ[x_i-1, x_i+1] , f ‘’(x_i) @ [f(x_i+1) – 2f(x_i)      + f(x_i-1) ]/(h²) , e2 £ (h²/12)max |f⁽⁴⁾(x)| где xÎ[x_i-1, x_i+1].     Рассмотрим другой подход к получению формул численного дифференцирования, базирующийся на замене дифференцируемой функции интерполяционным полиномом. В этом случае для вычисления первой производной можно записать f ‘(x) = P’_n(x) +R’_n(x) , где P’_n(x) – производная интерполяционного полинома, которая может быть взята аналитически, а R’_n(x) – производная остаточного члена интерполяции, xÎ[a, b].                    Однако и в этом случае возникает проблема точности вычисления производной, поскольку близость дифференцируемой f(x) и полинома P_n(x) вовсе не означает близость их производных. Тем не менее описанный подход используется для вычисления производных, в том числе и более первого порядка, хотя каждая производная понижает степень интерполяционного полинома.     В предположении, что дифференцируемая функция y=f(x) имеет необходимое число производных и на интервале задана в равноотстоящих точках x_i , iÎ[0, n] , запишем для нее интерполяционный полином Ньютона      P_n(x) = y₀+tDy₀ + [t(t-1)D²y₀]/2! + [t(t-1)(t-2)D³y₀]/3! + R_n(x) , t = (x-x₀)/h , h=x_i+1-x_i=const, iÎ[0, n-1] .     Учитывая , что      dy/dx=[dy/dt]*[dt/dx]=[1/h]*[dy/dt] первую и вторую производные можно вычислять в виде      P’n(x) = [1/h]*[Dy₀ + (2t-1)*(D²y₀)/2 + (3t²-6t+2)*(D³y₀)/6 + R’_n(x)] ,      P’’n(x) = [1/h²]*[D²y₀ + (t-1)*(D³y₀) + R’’_n(x)] . По аналогии определяются производные более высоких порядков.     Отметим, что эти выражения записаны для случая, когда производные определяются в некоторой точке xÎ[a, b] , которая не является узлом интерполяции. В целях увеличения точности дифференцирования в качестве точки x₀ рекомендуется выбирать ближайшее к точке x значение узла.     Если дифференцирование производится в узлах x_i , iÎ[0, n] , то эти формулы , существенно упрощаются. Так, полагая x=x₀ и t=0 , получаем P’n(x) = [1/h]*[Dy₀ - (D²y₀)/2 + (D³y₀)/3 - (D⁴y₀)/4 + R’_n(x)] ,      P’’n(x) = [1/h²]*[(D²y₀) - (D³y₀) + (11/12)*(D⁴y₀) + R’’_n(x)] , .     Погрешность дифференцирования можно определить, воспользовавшись оценкой остаточного члена интерполяционной формулы и , например, при вычислении первой производной, поскольку    [d/dt][t(t-1)(t-2)…(t-n)]_t=0=(-1)ⁿn! , она имеет вид e_x=x0 @ [(-1)ⁿ]*[(Dⁿ⁺¹y₀)/(h(n+1))] .      В заключение отметим, что при необходимости дифференцируемую функцию вместо интерполяционного полинома можно приблизить в виде обобщенного ряда Фурье.