Выбор узлов интерполирования. Приближение сплайнами, страница 2

Рассмотрим простейший способ. Если f(x) на [a;b] (n+1) раз дифференцируема, причем производная f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) практически постоянна на [a;b], то в качастве полинома наилучшего равномерного приближения рекомендуется использовать интерполяционный полиномЛагранжа с узлами, выбранными по Чебышеву. Если же f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=const на [a;b], то указанный полином Лагранжа ролностью совпадает с полиномом наилучшего равномерного приближения этой функции. Оценка погрешности наилучшего равномерного приближения может быть прозведена через остаточный член интерполяционного полинома Лагранжа  согласно выражению:

8) Приближение сплайнами.

Учет большого количества узлов на интервале [a;b] с целью повышения точности интерполирования приводит к увеличению степени полиномов, которые становяться громоздкими в практических вычислениях, что способствует накоплению вычислительной погрешности. Возникает конфликтная ситуация. Чем больше узлов, тем меньше методическая погрешность, но тем больше погрешность вычислительная. Данные обстоятельства приводят к использованию кусочно-полиномиальной интерполяции посредством так называемых сплайнов.

Если интервал [a;b] разбить на N равных частей [x_i, x_i+1], x_i=a+ih, i Î [0; N-1], h=(b-a)/N, то сплайн S_m(x) есть функция, которая вместе с несколькими своими производными непрерывна на [a;b], а на каждом элементарном отрезке [x_i, x_i+1], iÎ[0,N-1] является некоторым алгебраическим многочленом степени m.

Величина:                                называется наклоном сплайнов, а разность d=m-L между степенью m сплайна и порядком L его старшей нрепрерывной производной – дефектом сплайна.

На практике наибольшее распространение получили кубические сплайны S₃(x) с дефектом d=1, которые в общем виде для элементарного отрезка [x_i, x_i+1] можно записать как:

 S_3i(x)=a_0i+a_1i(x-x_i)+a_2i(x-x_i)²+a_3i(x-x_i)³. Коэффициенты a_0i , a_1i , a_2i , a_3i , общее количество которых 4N,  определяются из алгебраической системы, сформированной из условий:

-равенства значений сплайна и функции в узлах x_i, iÎ[0, N-1] и таких условий 2N;

-совпадения производных слева и справа в точках стыковки сплайнов, что увеличивает общее число уравнений в системе до 4N-2;

 

-краевых, в точках x₀ и x_N  следующих из предположения о нулевой кривизне функции на концах интервала.

Кубический сплайн можно представить в виде:

Здесь возникает необходимость вычисления наклонов сплайна, что может быть осуществлено по таблицам производных, если y=f(x), xÎ[a;b] задана аналитически, или по формулам численного дифференцирования таблично заданной f(x). В последнем случае наклоны рекомендуется определять по следующим соотношениям:

Полученный таким образом сплайн будет обладать дефектом d=2. Если же при вычислении наклонов воспользоваться условиями “совпадения производных” и сформировать систему (N-1) алгебраических уравнений.

 

Относительно (N+1) неизвестных, а в точках x₀ и x_N наклоны определять с учетом “краевых” условий в виде:

То получим сплайн с дефектом d=1. Погрешность приближения сплайнами с дефектом d=1, при условии что f(x) четырежды дифференцируема, может быть описана в виде

Где К – некоторая константа, не зависящая ни от f(x), ни от h. Но и эта оценка является неконструктивной, поскольку не дается не кких рекомендаций по вычислению коэффициента К.