Учреждение образования
Белорусский Государственный Университет информатики и радиоэлектроники
Кафедра высшей математики
Отчёт
по лабораторной работе №9
«Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений»
Выполнил: Проверил:
студент гр. 551004 Ранцевич В.А.
Борисик В.О.
Минск, 2007
1. Цель работы:
Изучение методов численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений - метода Эйлера и его модификаций, методов Рунге - Кутта, многошаговых методов Адамса; исследование погрешности решения; сравнение числа вычислений правых частей уравнений, необходимого для достижения заданной точности разными методами.
2. Постановка задачи:
Написать программу, решающую задачу Коши для дифференциального уравнения тремя методами.
Решить задачу Коши и составить таблицу значений на отрезке [a,b] с постоянным шагом h=0.1 тремя методами. Сравнить полученные решения с точным и сделать выводы о точности метода в зависимости от шага сетки.
Предусмотреть в программе автоматический выбор шага, необходимого для достижения заданной точности (10-2, 10-3, 10-4) решения каждым методом.
Сравнить число вычислений правой части уравнения, необходимое для достижения заданной точности разными методами.
3. Результаты исследований:
Шаг = 0.1
3.1. Точность = 10-2
а) Метод Эйлера:
|
№ |
x |
y |
настоящие значения |
погрешность |
|
0 |
1.570796 |
0.000000 |
0.000000 |
1.373234e-07 |
|
1 |
1.668971 |
0.308425 |
0.316532 |
8.106978e-03 |
|
2 |
1.767146 |
0.631567 |
0.642810 |
1.124379e-02 |
|
3 |
1.865321 |
0.959544 |
0.968443 |
8.898798e-03 |
|
4 |
1.963496 |
1.281452 |
1.282265 |
8.128560e-04 |
|
5 |
2.061670 |
1.585526 |
1.572539 |
1.298722e-02 |
|
6 |
2.159845 |
1.859334 |
1.827179 |
3.215457e-02 |
|
7 |
2.258020 |
2.089978 |
2.033986 |
5.599234e-02 |
|
8 |
2.356195 |
2.264311 |
2.180895 |
8.341597e-02 |
б) Метод Рунге-Кутта второго порядка:
|
№ |
x |
y |
настоящие значения |
погрешность |
|
0 |
1.570796 |
0.000000 |
0.000000 |
1.373234e-07 |
|
1 |
1.668971 |
0.315783 |
0.316532 |
7.484220e-04 |
|
2 |
1.767146 |
0.641236 |
0.642810 |
1.573794e-03 |
|
3 |
1.865321 |
0.965944 |
0.968443 |
2.499372e-03 |
|
4 |
1.963495 |
1.278713 |
1.282264 |
3.551547e-03 |
|
5 |
2.061670 |
1.567778 |
1.572539 |
4.760779e-03 |
|
6 |
2.159845 |
1.821021 |
1.827178 |
6.157179e-03 |
|
7 |
2.258020 |
2.026209 |
2.033985 |
7.776327e-03 |
|
8 |
2.356194 |
2.171241 |
2.180895 |
9.654501e-03 |
в) Метод Рунге-Кутта четвёртого порядка:
|
№ |
x |
y |
настоящие значения |
погрешность |
|
0 |
1.570796 |
0.000000 |
0.000000 |
1.373234e-07 |
|
1 |
1.963495 |
1.281901 |
1.282264 |
3.637715e-04 |
|
2 |
2.356194 |
2.179226 |
2.180895 |
1.668671e-03 |
г) зависимость шага от точности:
|
точность |
H1 |
H2 |
H3 |
|
1.000000e+00 |
2.727273 |
2.727273 |
2.727273 |
|
5.000000e-01 |
2.727273 |
0.718176 |
2.727273 |
|
2.500000e-01 |
0.718176 |
0.718176 |
2.727273 |
|
1.250000e-01 |
0.718176 |
0.368538 |
2.727273 |
|
6.250000e-02 |
0.718176 |
0.251716 |
2.727273 |
|
3.125000e-02 |
0.251716 |
0.189118 |
2.727273 |
|
1.562500e-02 |
0.156296 |
0.129170 |
0.718176 |
|
7.812500e-03 |
0.097048 |
0.097048 |
0.718176 |
|
3.906250e-03 |
0.066285 |
0.060259 |
0.718176 |
|
1.953125e-03 |
0.045273 |
0.045273 |
0.718176 |
|
9.765625e-04 |
0.030922 |
0.030922 |
0.368538 |
|
4.882812e-04 |
0.021120 |
0.021120 |
0.368538 |
|
2.441406e-04 |
0.015868 |
0.015868 |
0.251716 |
|
1.220703e-04 |
0.010838 |
0.010838 |
0.251716 |
|
6.103516e-05 |
0.007403 |
0.007403 |
0.189118 |
|
3.051758e-05 |
0.005562 |
0.005562 |
0.156296 |
|
1.525879e-05 |
0.003799 |
0.003799 |
0.129170 |
|
7.629395e-06 |
0.002595 |
0.002595 |
0.106752 |
|
3.814697e-06 |
0.001949 |
0.001949 |
0.080205 |
|
1.907349e-06 |
0.001210 |
0.001210 |
0.072913 |
3.2. Точность = 10-3
а) Метод Эйлера:
|
№ |
x |
y |
настоящие значения |
погрешность |
|
0 |
1.570796 |
0.000000 |
0.000000 |
1.373234e-07 |
|
1 |
1.601004 |
0.094900 |
0.095769 |
8.689689e-04 |
|
2 |
1.631212 |
0.191494 |
0.193097 |
1.603038e-03 |
|
3 |
1.661419 |
0.289515 |
0.291711 |
2.196284e-03 |
|
4 |
1.691627 |
0.388683 |
0.391326 |
2.643210e-03 |
|
5 |
1.721835 |
0.488712 |
0.491651 |
2.939001e-03 |
|
6 |
1.752042 |
0.589306 |
0.592386 |
3.079451e-03 |
|
7 |
1.782250 |
0.690160 |
0.693221 |
3.061073e-03 |
|
8 |
1.812457 |
0.790962 |
0.793843 |
2.881114e-03 |
|
9 |
1.842665 |
0.891391 |
0.893928 |
2.537452e-03 |
|
10 |
1.872873 |
0.991121 |
0.993149 |
2.028792e-03 |
|
11 |
1.903080 |
1.089818 |
1.091172 |
1.354694e-03 |
|
12 |
1.933288 |
1.187143 |
1.187659 |
5.154409e-04 |
|
13 |
1.963496 |
1.282753 |
1.282265 |
4.879558e-04 |
|
14 |
1.993703 |
1.376298 |
1.374645 |
1.653382e-03 |
|
15 |
2.023911 |
1.467425 |
1.464447 |
2.978297e-03 |
|
16 |
2.054118 |
1.555778 |
1.551320 |
4.458154e-03 |
|
17 |
2.084326 |
1.640998 |
1.634909 |
6.088600e-03 |
|
18 |
2.114534 |
1.722722 |
1.714858 |
7.863967e-03 |
|
19 |
2.144741 |
1.800590 |
1.790812 |
9.777679e-03 |
|
20 |
2.174949 |
1.874236 |
1.862414 |
1.182192e-02 |
|
21 |
2.205157 |
1.943296 |
1.929308 |
1.398802e-02 |
|
22 |
2.235364 |
2.007409 |
1.991143 |
1.626609e-02 |
|
23 |
2.265572 |
2.066210 |
2.047565 |
1.864532e-02 |
|
24 |
2.295779 |
2.119340 |
2.098227 |
2.111381e-02 |
|
25 |
2.325987 |
2.166442 |
2.142784 |
2.365834e-02 |
|
26 |
2.356195 |
2.207160 |
2.180895 |
2.626441e-02 |
б) Метод Рунге-Кутта второго порядка:
|
№ |
x |
y |
настоящие значения |
погрешность |
|
0 |
1.570796 |
0.000000 |
0.000000 |
1.373234e-07 |
|
1 |
1.601004 |
0.095747 |
0.095769 |
2.184529e-05 |
|
2 |
1.631212 |
0.193053 |
0.193097 |
4.366189e-05 |
|
3 |
1.661419 |
0.291644 |
0.291711 |
6.639786e-05 |
|
4 |
1.691627 |
0.391236 |
0.391326 |
8.973961e-05 |
|
5 |
1.721834 |
0.491537 |
0.491651 |
1.137317e-04 |
|
6 |
1.752042 |
0.592247 |
0.592385 |
1.384574e-04 |
|
7 |
1.782250 |
0.693057 |
0.693221 |
1.639492e-04 |
|
8 |
1.812457 |
0.793652 |
0.793842 |
1.902833e-04 |
|
9 |
1.842665 |
0.893710 |
0.893928 |
2.175439e-04 |
|
10 |
1.872873 |
0.992903 |
0.993149 |
2.457470e-04 |
|
11 |
1.903080 |
1.090897 |
1.091172 |
2.746048e-04 |
|
12 |
1.933288 |
1.187353 |
1.187658 |
3.049971e-04 |
|
13 |
1.963495 |
1.281928 |
1.282264 |
3.365918e-04 |
|
14 |
1.993703 |
1.374275 |
1.374644 |
3.693566e-04 |
|
15 |
2.023911 |
1.464043 |
1.464446 |
4.030923e-04 |
|
16 |
2.054118 |
1.550881 |
1.551319 |
4.386476e-04 |
|
17 |
2.084326 |
1.634433 |
1.634908 |
4.756098e-04 |
|
18 |
2.114533 |
1.714344 |
1.714858 |
5.141614e-04 |
|
19 |
2.144741 |
1.790257 |
1.790811 |
5.543229e-04 |
|
20 |
2.174949 |
1.861817 |
1.862413 |
5.961610e-04 |
|
21 |
2.205156 |
1.928668 |
1.929308 |
6.397664e-04 |
|
22 |
2.235364 |
1.990457 |
1.991142 |
6.852386e-04 |
|
23 |
2.265572 |
2.046832 |
2.047564 |
7.326773e-04 |
|
24 |
2.295779 |
2.097444 |
2.098226 |
7.819396e-04 |
|
25 |
2.325987 |
2.141950 |
2.142783 |
8.333556e-04 |
|
26 |
2.356194 |
2.180008 |
2.180895 |
8.866578e-04 |
в) Метод Рунге-Кутта четвёртого порядка:
|
№ |
x |
y |
настоящие значения |
погрешность |
|
0 |
1.570796 |
0.000000 |
0.000000 |
1.373234e-07 |
|
1 |
1.832596 |
0.860604 |
0.860646 |
4.134658e-05 |
|
2 |
2.094395 |
1.661860 |
1.661981 |
1.208758e-04 |
|
3 |
2.356194 |
2.180557 |
2.180895 |
3.380567e-04 |
3.3. Точность = 10-4
а) Метод Эйлера:
|
№ |
x |
y |
настоящие значения |
погрешность |
|
0 |
1.570796 |
0.000000 |
0.000000 |
1.373234e-07 |
|
1 |
1.580614 |
0.030843 |
0.030938 |
9.504172e-05 |
|
2 |
1.590431 |
0.061873 |
0.062059 |
1.854307e-04 |
|
3 |
1.600249 |
0.093083 |
0.093355 |
2.712341e-04 |
|
4 |
1.610066 |
0.124464 |
0.124816 |
3.523774e-04 |
|
5 |
1.619884 |
0.156005 |
0.156434 |
4.287968e-04 |
|
6 |
1.629701 |
0.187698 |
0.188198 |
5.004304e-04 |
|
7 |
1.639519 |
0.219533 |
0.220100 |
5.672023e-04 |
|
8 |
1.649336 |
0.251500 |
0.252129 |
6.290679e-04 |
|
9 |
1.659154 |
0.283591 |
0.284277 |
6.859564e-04 |
|
10 |
1.668971 |
0.315794 |
0.316532 |
7.378173e-04 |
|
11 |
1.678789 |
0.348101 |
0.348886 |
7.845767e-04 |
|
12 |
1.688606 |
0.380502 |
0.381328 |
8.262141e-04 |
|
13 |
1.698424 |
0.412986 |
0.413848 |
8.626448e-04 |
|
14 |
1.708241 |
0.445542 |
0.446436 |
8.938403e-04 |
|
15 |
1.718059 |
0.478162 |
0.479082 |
9.197712e-04 |
|
16 |
1.727876 |
0.510835 |
0.511775 |
9.403788e-04 |
|
17 |
1.737694 |
0.543550 |
0.544505 |
9.555766e-04 |
|
18 |
1.747511 |
0.576296 |
0.577262 |
9.653721e-04 |
|
19 |
1.757329 |
0.609064 |
0.610033 |
9.697488e-04 |
|
20 |
1.767146 |
0.641842 |
0.642810 |
9.686681e-04 |
|
21 |
1.776963 |
0.674619 |
0.675582 |
9.620715e-04 |
|
22 |
1.786781 |
0.707386 |
0.708336 |
9.499422e-04 |
|
23 |
1.796598 |
0.740131 |
0.741063 |
9.322467e-04 |
|
24 |
1.806416 |
0.772842 |
0.773751 |
9.089973e-04 |
|
25 |
1.816233 |
0.805509 |
0.806390 |
8.801343e-04 |
|
26 |
1.826051 |
0.838121 |
0.838967 |
8.457068e-04 |
|
27 |
1.835868 |
0.870667 |
0.871473 |
8.056367e-04 |
|
28 |
1.845686 |
0.903135 |
0.903895 |
7.598990e-04 |
|
29 |
1.855503 |
0.935514 |
0.936222 |
7.085246e-04 |
|
30 |
1.865321 |
0.967792 |
0.968443 |
6.515419e-04 |
|
31 |
1.875138 |
0.999958 |
1.000547 |
5.888605e-04 |
|
32 |
1.884956 |
1.032001 |
1.032521 |
5.205707e-04 |
|
33 |
1.894773 |
1.063908 |
1.064355 |
4.466480e-04 |
|
34 |
1.904591 |
1.095669 |
1.096036 |
3.670745e-04 |
|
35 |
1.914408 |
1.127271 |
1.127553 |
2.818408e-04 |
|
36 |
1.924226 |
1.158704 |
1.158895 |
1.910079e-04 |
|
37 |
1.934043 |
1.189954 |
1.190048 |
9.459048e-05 |
|
38 |
1.943861 |
1.221010 |
1.221003 |
7.441380e-06 |
|
39 |
1.953678 |
1.251860 |
1.251745 |
1.150403e-04 |
|
40 |
1.963496 |
1.282493 |
1.282265 |
2.281987e-04 |
|
41 |
1.973313 |
1.312896 |
1.312550 |
3.468275e-04 |
|
42 |
1.983131 |
1.343058 |
1.342587 |
4.709918e-04 |
|
43 |
1.992948 |
1.372966 |
1.372365 |
6.005514e-04 |
|
44 |
2.002765 |
1.402608 |
1.401872 |
7.358724e-04 |
|
45 |
2.012583 |
1.431971 |
1.431095 |
8.765097e-04 |
|
46 |
2.022400 |
1.461045 |
1.460023 |
1.022527e-03 |
|
47 |
2.032218 |
1.489817 |
1.488643 |
1.173772e-03 |
|
48 |
2.042035 |
1.518274 |
1.516944 |
1.330233e-03 |
|
49 |
2.051852 |
1.546404 |
1.544912 |
1.491919e-03 |
|
50 |
2.061670 |
1.574196 |
1.572537 |
1.658615e-03 |
|
51 |
2.071487 |
1.601636 |
1.599805 |
1.830357e-03 |
|
52 |
2.081304 |
1.628713 |
1.626705 |
2.007077e-03 |
|
53 |
2.091122 |
1.655414 |
1.653225 |
2.188713e-03 |
|
54 |
2.100939 |
1.681726 |
1.679351 |
2.375211e-03 |
|
55 |
2.110756 |
1.707639 |
1.705073 |
2.566401e-03 |
|
56 |
2.120574 |
1.733139 |
1.730377 |
2.762353e-03 |
|
57 |
2.130391 |
1.758214 |
1.755251 |
2.962900e-03 |
|
58 |
2.140208 |
1.782851 |
1.779684 |
3.167868e-03 |
|
59 |
2.150026 |
1.807039 |
1.803662 |
3.377318e-03 |
|
60 |
2.159843 |
1.830766 |
1.827175 |
3.591064e-03 |
|
61 |
2.169661 |
1.854017 |
1.850208 |
3.809028e-03 |
|
62 |
2.179478 |
1.876783 |
1.872752 |
4.031117e-03 |
|
63 |
2.189295 |
1.899050 |
1.894792 |
4.257225e-03 |
|
64 |
2.199113 |
1.920805 |
1.916318 |
4.487225e-03 |
|
65 |
2.208930 |
1.942037 |
1.937316 |
4.720969e-03 |
|
66 |
2.218747 |
1.962734 |
1.957776 |
4.958407e-03 |
|
67 |
2.228565 |
1.982883 |
1.977684 |
5.199460e-03 |
|
68 |
2.238382 |
2.002472 |
1.997028 |
5.443901e-03 |
|
69 |
2.248199 |
2.021490 |
2.015798 |
5.691713e-03 |
|
70 |
2.258017 |
2.039923 |
2.033980 |
5.942722e-03 |
|
71 |
2.267834 |
2.057760 |
2.051563 |
6.196720e-03 |
|
72 |
2.277652 |
2.074988 |
2.068534 |
6.453459e-03 |
|
73 |
2.287469 |
2.091596 |
2.084883 |
6.713126e-03 |
|
74 |
2.297286 |
2.107572 |
2.100597 |
6.975386e-03 |
|
75 |
2.307104 |
2.122904 |
2.115664 |
7.240098e-03 |
|
76 |
2.316921 |
2.137579 |
2.130072 |
7.507068e-03 |
|
77 |
2.326738 |
2.151587 |
2.143811 |
7.776053e-03 |
|
78 |
2.336556 |
2.164915 |
2.156868 |
8.046991e-03 |
|
79 |
2.346373 |
2.177551 |
2.169232 |
8.319764e-03 |
|
80 |
2.356190 |
2.189485 |
2.180890 |
8.594193e-03 |
б) Метод Рунге-Кутта второго порядка:
|
№ |
x |
y |
настоящие значения |
погрешность |
|
0 |
1.570796 |
0.000000 |
0.000000 |
1.373234e-07 |
|
1 |
1.580614 |
0.030937 |
0.030938 |
8.924609e-07 |
|
2 |
1.590431 |
0.062057 |
0.062059 |
1.650933e-06 |
|
3 |
1.600249 |
0.093352 |
0.093355 |
2.417103e-06 |
|
4 |
1.610066 |
0.124813 |
0.124816 |
3.191087e-06 |
|
5 |
1.619884 |
0.156430 |
0.156433 |
3.579840e-06 |
|
6 |
1.629701 |
0.188193 |
0.188198 |
4.356761e-06 |
|
7 |
1.639519 |
0.220094 |
0.220099 |
5.144656e-06 |
|
8 |
1.649336 |
0.252123 |
0.252129 |
5.928879e-06 |
|
9 |
1.659154 |
0.284269 |
0.284276 |
6.728096e-06 |
|
10 |
1.668971 |
0.316524 |
0.316532 |
7.536310e-06 |
|
11 |
1.678789 |
0.348877 |
0.348886 |
8.339416e-06 |
|
12 |
1.688606 |
0.381318 |
0.381328 |
9.146681e-06 |
|
13 |
1.698424 |
0.413838 |
0.413848 |
9.962644e-06 |
|
14 |
1.708241 |
0.446425 |
0.446436 |
1.078884e-05 |
|
15 |
1.718058 |
0.479070 |
0.479082 |
1.162557e-05 |
|
16 |
1.727876 |
0.511762 |
0.511775 |
1.247365e-05 |
|
17 |
1.737693 |
0.544492 |
0.544505 |
1.330642e-05 |
|
18 |
1.747511 |
0.577247 |
0.577261 |
1.416098e-05 |
|
19 |
1.757328 |
0.610018 |
0.610033 |
1.502081e-05 |
|
20 |
1.767146 |
0.642794 |
0.642810 |
1.590707e-05 |
|
21 |
1.776963 |
0.675564 |
0.675581 |
1.682087e-05 |
|
22 |
1.786781 |
0.708318 |
0.708336 |
1.774518e-05 |
|
23 |
1.796598 |
0.741044 |
0.741062 |
1.864678e-05 |
|
24 |
1.806416 |
0.773731 |
0.773751 |
1.953781e-05 |
|
25 |
1.816233 |
0.806369 |
0.806389 |
2.047776e-05 |
|
26 |
1.826051 |
0.838945 |
0.838967 |
2.139663e-05 |
|
27 |
1.835868 |
0.871450 |
0.871472 |
2.233543e-05 |
|
28 |
1.845686 |
0.903871 |
0.903894 |
2.326933e-05 |
|
29 |
1.855503 |
0.936197 |
0.936222 |
2.422899e-05 |
|
30 |
1.865321 |
0.968418 |
0.968443 |
2.518340e-05 |
|
31 |
1.875138 |
1.000520 |
1.000546 |
2.622081e-05 |
|
32 |
1.884956 |
1.032494 |
1.032521 |
2.725284e-05 |
|
33 |
1.894773 |
1.064326 |
1.064354 |
2.831461e-05 |
|
34 |
1.904591 |
1.096006 |
1.096036 |
2.932851e-05 |
|
35 |
1.914408 |
1.127522 |
1.127553 |
3.040438e-05 |
|
36 |
1.924226 |
1.158863 |
1.158894 |
3.148409e-05 |
|
37 |
1.934043 |
1.190015 |
1.190048 |
3.220508e-05 |
|
38 |
1.943860 |
1.220968 |
1.221002 |
3.329424e-05 |
|
39 |
1.953678 |
1.251710 |
1.251745 |
3.441948e-05 |
|
40 |
1.963495 |
1.282229 |
1.282264 |
3.546910e-05 |
|
41 |
1.973313 |
1.312512 |
1.312549 |
3.653233e-05 |
|
42 |
1.983130 |
1.342549 |
1.342586 |
3.766314e-05 |
|
43 |
1.992948 |
1.372326 |
1.372364 |
3.876338e-05 |
|
44 |
2.002765 |
1.401831 |
1.401872 |
4.029932e-05 |
|
45 |
2.012583 |
1.431054 |
1.431095 |
4.116337e-05 |
|
46 |
2.022400 |
1.459981 |
1.460023 |
4.271104e-05 |
|
47 |
2.032218 |
1.488600 |
1.488644 |
4.356949e-05 |
|
48 |
2.042035 |
1.516900 |
1.516945 |
4.513946e-05 |
|
49 |
2.051853 |
1.544868 |
1.544914 |
4.603867e-05 |
|
50 |
2.061670 |
1.572491 |
1.572539 |
4.760116e-05 |
|
51 |
2.071488 |
1.599759 |
1.599807 |
4.856644e-05 |
|
52 |
2.081305 |
1.626658 |
1.626708 |
5.020914e-05 |
|
53 |
2.091123 |
1.653176 |
1.653227 |
5.116425e-05 |
|
54 |
2.100940 |
1.679302 |
1.679354 |
5.214400e-05 |
|
55 |
2.110758 |
1.705022 |
1.705076 |
5.381838e-05 |
|
56 |
2.120575 |
1.730325 |
1.730380 |
5.486732e-05 |
|
57 |
2.130393 |
1.755198 |
1.755255 |
5.656880e-05 |
|
58 |
2.140210 |
1.779629 |
1.779687 |
5.764816e-05 |
|
59 |
2.150028 |
1.803607 |
1.803666 |
5.935029e-05 |
|
60 |
2.159845 |
1.827118 |
1.827178 |
6.045831e-05 |
|
61 |
2.169662 |
1.850151 |
1.850213 |
6.219176e-05 |
|
62 |
2.179480 |
1.872693 |
1.872756 |
6.340402e-05 |
|
63 |
2.189297 |
1.894732 |
1.894797 |
6.517783e-05 |
|
64 |
2.199115 |
1.916256 |
1.916323 |
6.644939e-05 |
|
65 |
2.208932 |
1.937253 |
1.937321 |
6.817245e-05 |
|
66 |
2.218750 |
1.957711 |
1.957781 |
6.949784e-05 |
|
67 |
2.228567 |
1.977618 |
1.977689 |
7.125826e-05 |
|
68 |
2.238385 |
1.996961 |
1.997034 |
7.259335e-05 |
|
69 |
2.248202 |
2.015729 |
2.015803 |
7.434191e-05 |
|
70 |
2.258020 |
2.033910 |
2.033985 |
7.564510e-05 |
|
71 |
2.267837 |
2.051491 |
2.051568 |
7.747502e-05 |
|
72 |
2.277655 |
2.068461 |
2.068540 |
7.898702e-05 |
|
73 |
2.287472 |
2.084808 |
2.084888 |
8.081775e-05 |
|
74 |
2.297290 |
2.100520 |
2.100602 |
8.226867e-05 |
|
75 |
2.307107 |
2.115585 |
2.115669 |
8.424511e-05 |
|
76 |
2.316925 |
2.129992 |
2.130078 |
8.573052e-05 |
|
77 |
2.326742 |
2.143728 |
2.143816 |
8.766864e-05 |
|
78 |
2.336560 |
2.156784 |
2.156873 |
8.921444e-05 |
|
79 |
2.346377 |
2.169145 |
2.169236 |
9.111981e-05 |
|
80 |
2.356194 |
2.180802 |
2.180895 |
9.272398e-05 |
в) Метод Рунге-Кутта четвёртого порядка:
|
№ |
x |
y |
настоящие значения |
погрешность |
|
0 |
1.570796 |
0.000000 |
0.000000 |
1.373234e-07 |
|
1 |
1.727876 |
0.511772 |
0.511775 |
2.877304e-06 |
|
2 |
1.884956 |
1.032514 |
1.032521 |
6.987262e-06 |
|
3 |
2.042035 |
1.516932 |
1.516945 |
1.319137e-05 |
|
4 |
2.199115 |
1.916299 |
1.916323 |
2.317641e-05 |
|
5 |
2.356194 |
2.180851 |
2.180895 |
4.360975e-05 |
4. Вывод:
При изучении методов решения дифференциальных уравнений – методом Эйлера и Рунге-Кутта использовались следующий формулы:
- для метода Эйлера: ук+1= ук+hf(xk, yk); k=0,1,2, …
погрешность: O(h)
- для метода Рунге-Кутта 2-ого порядка:
ук+1= ук+hf(xk+0.5h, yk+0.5hf(xk, yk)); k=0,1,2 …
погрешность: O(h3)
- для метода Рунге-Кутта 4-ого порядка:
k1=f(xk, yk)
k2=f(xk+0.5h, yk+0.5h*k1)
k3=f(xk+0.5h, yk+0.5h*k2)
k4=f(xk+h, yk+h*k3)
ук+1=уi+h/6*(k1+2k2+2k3+k4); k=0,1,2 …
Для нахождения шага при определённой погрешности, постоянно уменьшался шаг на 1.1 до тех пор пока, найденная максимальная погрешность не превышала заданную.
Из результатов программы хорошо видно, что погрешность уменьшается с уменьшением шага. Метод Рунге-Кутта 4-ого порядка лучше, чем метод Рунге-Кутта 2-ого порядка, который в свою очередь лучше, чем метод Эйлера.
Учреждение образования
Белорусский Государственный Университет информатики и радиоэлектроники
Кафедра высшей математики
Отчёт
по лабораторной работе №9
«Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений»
Выполнил: Проверил:
студент ФКСИС
гр. 250501
Столыбко А.В.
Минск, 2004
1. Цель работы:
Изучение методов численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений - метода Эйлера и его модификаций, методов Рунге - Кутта, многошаговых методов Адамса; исследование погрешности решения; сравнение числа вычислений правых частей уравнений, необходимого для достижения заданной точности разными методами.
2. Постановка задачи:
Написать программу, решающую задачу Коши для дифференциального уравнения тремя методами.
Решить задачу Коши и составить таблицу значений на отрезке [a,b] с постоянным шагом h=0.1 тремя методами. Сравнить полученные решения с точным и сделать выводы о точности метода в зависимости от шага сетки.
Предусмотреть в программе автоматический выбор шага, необходимого для достижения заданной точности (10-2, 10-3, 10-4) решения каждым методом.
Сравнить число вычислений правой части уравнения, необходимое для достижения заданной точности разными методами.
3. Результаты исследований:
Шаг = 0.1
3.1. Точность = 10-2
а) Метод Эйлера:
|
№ |
x |
y |
настоящие значения |
погрешность |
|
0 |
1.570796 |
0.000000 |
0.000000 |
1.373234e-07 |
|
1 |
1.668971 |
0.308425 |
0.316532 |
8.106978e-03 |
|
2 |
1.767146 |
0.631567 |
0.642810 |
1.124379e-02 |
|
3 |
1.865321 |
0.959544 |
0.968443 |
8.898798e-03 |
|
4 |
1.963496 |
1.281452 |
1.282265 |
8.128560e-04 |
|
5 |
2.061670 |
1.585526 |
1.572539 |
1.298722e-02 |
|
6 |
2.159845 |
1.859334 |
1.827179 |
3.215457e-02 |
|
7 |
2.258020 |
2.089978 |
2.033986 |
5.599234e-02 |
|
8 |
2.356195 |
2.264311 |
2.180895 |
8.341597e-02 |
б) Метод Рунге-Кутта второго порядка:
|
№ |
x |
y |
настоящие значения |
погрешность |
|
0 |
1.570796 |
0.000000 |
0.000000 |
1.373234e-07 |
|
1 |
1.668971 |
0.315783 |
0.316532 |
7.484220e-04 |
|
2 |
1.767146 |
0.641236 |
0.642810 |
1.573794e-03 |
|
3 |
1.865321 |
0.965944 |
0.968443 |
2.499372e-03 |
|
4 |
1.963495 |
1.278713 |
1.282264 |
3.551547e-03 |
|
5 |
2.061670 |
1.567778 |
1.572539 |
4.760779e-03 |
|
6 |
2.159845 |
1.821021 |
1.827178 |
6.157179e-03 |
|
7 |
2.258020 |
2.026209 |
2.033985 |
7.776327e-03 |
|
8 |
2.356194 |
2.171241 |
2.180895 |
9.654501e-03 |
в) Метод Рунге-Кутта четвёртого порядка:
|
№ |
x |
y |
настоящие значения |
погрешность |
|
0 |
1.570796 |
0.000000 |
0.000000 |
1.373234e-07 |
|
1 |
1.963495 |
1.281901 |
1.282264 |
3.637715e-04 |
|
2 |
2.356194 |
2.179226 |
2.180895 |
1.668671e-03 |
г) зависимость шага от точности:
|
точность |
H1 |
H2 |
H3 |
|
1.000000e+00 |
2.727273 |
2.727273 |
2.727273 |
|
5.000000e-01 |
2.727273 |
0.718176 |
2.727273 |
|
2.500000e-01 |
0.718176 |
0.718176 |
2.727273 |
|
1.250000e-01 |
0.718176 |
0.368538 |
2.727273 |
|
6.250000e-02 |
0.718176 |
0.251716 |
2.727273 |
|
3.125000e-02 |
0.251716 |
0.189118 |
2.727273 |
|
1.562500e-02 |
0.156296 |
0.129170 |
0.718176 |
|
7.812500e-03 |
0.097048 |
0.097048 |
0.718176 |
|
3.906250e-03 |
0.066285 |
0.060259 |
0.718176 |
|
1.953125e-03 |
0.045273 |
0.045273 |
0.718176 |
|
9.765625e-04 |
0.030922 |
0.030922 |
0.368538 |
|
4.882812e-04 |
0.021120 |
0.021120 |
0.368538 |
|
2.441406e-04 |
0.015868 |
0.015868 |
0.251716 |
|
1.220703e-04 |
0.010838 |
0.010838 |
0.251716 |
|
6.103516e-05 |
0.007403 |
0.007403 |
0.189118 |
|
3.051758e-05 |
0.005562 |
0.005562 |
0.156296 |
|
1.525879e-05 |
0.003799 |
0.003799 |
0.129170 |
|
7.629395e-06 |
0.002595 |
0.002595 |
0.106752 |
|
3.814697e-06 |
0.001949 |
0.001949 |
0.080205 |
|
1.907349e-06 |
0.001210 |
0.001210 |
0.072913 |
3.2. Точность = 10-3
а) Метод Эйлера:
|
№ |
x |
y |
настоящие значения |
погрешность |
|
0 |
1.570796 |
0.000000 |
0.000000 |
1.373234e-07 |
|
1 |
1.601004 |
0.094900 |
0.095769 |
8.689689e-04 |
|
2 |
1.631212 |
0.191494 |
0.193097 |
1.603038e-03 |
|
3 |
1.661419 |
0.289515 |
0.291711 |
2.196284e-03 |
|
4 |
1.691627 |
0.388683 |
0.391326 |
2.643210e-03 |
|
5 |
1.721835 |
0.488712 |
0.491651 |
2.939001e-03 |
|
6 |
1.752042 |
0.589306 |
0.592386 |
3.079451e-03 |
|
7 |
1.782250 |
0.690160 |
0.693221 |
3.061073e-03 |
|
8 |
1.812457 |
0.790962 |
0.793843 |
2.881114e-03 |
|
9 |
1.842665 |
0.891391 |
0.893928 |
2.537452e-03 |
|
10 |
1.872873 |
0.991121 |
0.993149 |
2.028792e-03 |
|
11 |
1.903080 |
1.089818 |
1.091172 |
1.354694e-03 |
|
12 |
1.933288 |
1.187143 |
1.187659 |
5.154409e-04 |
|
13 |
1.963496 |
1.282753 |
1.282265 |
4.879558e-04 |
|
14 |
1.993703 |
1.376298 |
1.374645 |
1.653382e-03 |
|
15 |
2.023911 |
1.467425 |
1.464447 |
2.978297e-03 |
|
16 |
2.054118 |
1.555778 |
1.551320 |
4.458154e-03 |
|
17 |
2.084326 |
1.640998 |
1.634909 |
6.088600e-03 |
|
18 |
2.114534 |
1.722722 |
1.714858 |
7.863967e-03 |
|
19 |
2.144741 |
1.800590 |
1.790812 |
9.777679e-03 |
|
20 |
2.174949 |
1.874236 |
1.862414 |
1.182192e-02 |
|
21 |
2.205157 |
1.943296 |
1.929308 |
1.398802e-02 |
|
22 |
2.235364 |
2.007409 |
1.991143 |
1.626609e-02 |
|
23 |
2.265572 |
2.066210 |
2.047565 |
1.864532e-02 |
|
24 |
2.295779 |
2.119340 |
2.098227 |
2.111381e-02 |
|
25 |
2.325987 |
2.166442 |
2.142784 |
2.365834e-02 |
|
26 |
2.356195 |
2.207160 |
2.180895 |
2.626441e-02 |
б) Метод Рунге-Кутта второго порядка:
|
№ |
x |
y |
настоящие значения |
погрешность |
|
0 |
1.570796 |
0.000000 |
0.000000 |
1.373234e-07 |
|
1 |
1.601004 |
0.095747 |
0.095769 |
2.184529e-05 |
|
2 |
1.631212 |
0.193053 |
0.193097 |
4.366189e-05 |
|
3 |
1.661419 |
0.291644 |
0.291711 |
6.639786e-05 |
|
4 |
1.691627 |
0.391236 |
0.391326 |
8.973961e-05 |
|
5 |
1.721834 |
0.491537 |
0.491651 |
1.137317e-04 |
|
6 |
1.752042 |
0.592247 |
0.592385 |
1.384574e-04 |
|
7 |
1.782250 |
0.693057 |
0.693221 |
1.639492e-04 |
|
8 |
1.812457 |
0.793652 |
0.793842 |
1.902833e-04 |
|
9 |
1.842665 |
0.893710 |
0.893928 |
2.175439e-04 |
|
10 |
1.872873 |
0.992903 |
0.993149 |
2.457470e-04 |
|
11 |
1.903080 |
1.090897 |
1.091172 |
2.746048e-04 |
|
12 |
1.933288 |
1.187353 |
1.187658 |
3.049971e-04 |
|
13 |
1.963495 |
1.281928 |
1.282264 |
3.365918e-04 |
|
14 |
1.993703 |
1.374275 |
1.374644 |
3.693566e-04 |
|
15 |
2.023911 |
1.464043 |
1.464446 |
4.030923e-04 |
|
16 |
2.054118 |
1.550881 |
1.551319 |
4.386476e-04 |
|
17 |
2.084326 |
1.634433 |
1.634908 |
4.756098e-04 |
|
18 |
2.114533 |
1.714344 |
1.714858 |
5.141614e-04 |
|
19 |
2.144741 |
1.790257 |
1.790811 |
5.543229e-04 |
|
20 |
2.174949 |
1.861817 |
1.862413 |
5.961610e-04 |
|
21 |
2.205156 |
1.928668 |
1.929308 |
6.397664e-04 |
|
22 |
2.235364 |
1.990457 |
1.991142 |
6.852386e-04 |
|
23 |
2.265572 |
2.046832 |
2.047564 |
7.326773e-04 |
|
24 |
2.295779 |
2.097444 |
2.098226 |
7.819396e-04 |
|
25 |
2.325987 |
2.141950 |
2.142783 |
8.333556e-04 |
|
26 |
2.356194 |
2.180008 |
2.180895 |
8.866578e-04 |
в) Метод Рунге-Кутта четвёртого порядка:
|
№ |
x |
y |
настоящие значения |
погрешность |
|
0 |
1.570796 |
0.000000 |
0.000000 |
1.373234e-07 |
|
1 |
1.832596 |
0.860604 |
0.860646 |
4.134658e-05 |
|
2 |
2.094395 |
1.661860 |
1.661981 |
1.208758e-04 |
|
3 |
2.356194 |
2.180557 |
2.180895 |
3.380567e-04 |
3.3. Точность = 10-4
а) Метод Эйлера:
|
№ |
x |
y |
настоящие значения |
погрешность |
|
0 |
1.570796 |
0.000000 |
0.000000 |
1.373234e-07 |
|
1 |
1.580614 |
0.030843 |
0.030938 |
9.504172e-05 |
|
2 |
1.590431 |
0.061873 |
0.062059 |
1.854307e-04 |
|
3 |
1.600249 |
0.093083 |
0.093355 |
2.712341e-04 |
|
4 |
1.610066 |
0.124464 |
0.124816 |
3.523774e-04 |
|
5 |
1.619884 |
0.156005 |
0.156434 |
4.287968e-04 |
|
6 |
1.629701 |
0.187698 |
0.188198 |
5.004304e-04 |
|
7 |
1.639519 |
0.219533 |
0.220100 |
5.672023e-04 |
|
8 |
1.649336 |
0.251500 |
0.252129 |
6.290679e-04 |
|
9 |
1.659154 |
0.283591 |
0.284277 |
6.859564e-04 |
|
10 |
1.668971 |
0.315794 |
0.316532 |
7.378173e-04 |
|
11 |
1.678789 |
0.348101 |
0.348886 |
7.845767e-04 |
|
12 |
1.688606 |
0.380502 |
0.381328 |
8.262141e-04 |
|
13 |
1.698424 |
0.412986 |
0.413848 |
8.626448e-04 |
|
14 |
1.708241 |
0.445542 |
0.446436 |
8.938403e-04 |
|
15 |
1.718059 |
0.478162 |
0.479082 |
9.197712e-04 |
|
16 |
1.727876 |
0.510835 |
0.511775 |
9.403788e-04 |
|
17 |
1.737694 |
0.543550 |
0.544505 |
9.555766e-04 |
|
18 |
1.747511 |
0.576296 |
0.577262 |
9.653721e-04 |
|
19 |
1.757329 |
0.609064 |
0.610033 |
9.697488e-04 |
|
20 |
1.767146 |
0.641842 |
0.642810 |
9.686681e-04 |
|
21 |
1.776963 |
0.674619 |
0.675582 |
9.620715e-04 |
|
22 |
1.786781 |
0.707386 |
0.708336 |
9.499422e-04 |
|
23 |
1.796598 |
0.740131 |
0.741063 |
9.322467e-04 |
|
24 |
1.806416 |
0.772842 |
0.773751 |
9.089973e-04 |
|
25 |
1.816233 |
0.805509 |
0.806390 |
8.801343e-04 |
|
26 |
1.826051 |
0.838121 |
0.838967 |
8.457068e-04 |
|
27 |
1.835868 |
0.870667 |
0.871473 |
8.056367e-04 |
|
28 |
1.845686 |
0.903135 |
0.903895 |
7.598990e-04 |
|
29 |
1.855503 |
0.935514 |
0.936222 |
7.085246e-04 |
|
30 |
1.865321 |
0.967792 |
0.968443 |
6.515419e-04 |
|
31 |
1.875138 |
0.999958 |
1.000547 |
5.888605e-04 |
|
32 |
1.884956 |
1.032001 |
1.032521 |
5.205707e-04 |
|
33 |
1.894773 |
1.063908 |
1.064355 |
4.466480e-04 |
|
34 |
1.904591 |
1.095669 |
1.096036 |
3.670745e-04 |
|
35 |
1.914408 |
1.127271 |
1.127553 |
2.818408e-04 |
|
36 |
1.924226 |
1.158704 |
1.158895 |
1.910079e-04 |
|
37 |
1.934043 |
1.189954 |
1.190048 |
9.459048e-05 |
|
38 |
1.943861 |
1.221010 |
1.221003 |
7.441380e-06 |
|
39 |
1.953678 |
1.251860 |
1.251745 |
1.150403e-04 |
|
40 |
1.963496 |
1.282493 |
1.282265 |
2.281987e-04 |
|
41 |
1.973313 |
1.312896 |
1.312550 |
3.468275e-04 |
|
42 |
1.983131 |
1.343058 |
1.342587 |
4.709918e-04 |
|
43 |
1.992948 |
1.372966 |
1.372365 |
6.005514e-04 |
|
44 |
2.002765 |
1.402608 |
1.401872 |
7.358724e-04 |
|
45 |
2.012583 |
1.431971 |
1.431095 |
8.765097e-04 |
|
46 |
2.022400 |
1.461045 |
1.460023 |
1.022527e-03 |
|
47 |
2.032218 |
1.489817 |
1.488643 |
1.173772e-03 |
|
48 |
2.042035 |
1.518274 |
1.516944 |
1.330233e-03 |
|
49 |
2.051852 |
1.546404 |
1.544912 |
1.491919e-03 |
|
50 |
2.061670 |
1.574196 |
1.572537 |
1.658615e-03 |
|
51 |
2.071487 |
1.601636 |
1.599805 |
1.830357e-03 |
|
52 |
2.081304 |
1.628713 |
1.626705 |
2.007077e-03 |
|
53 |
2.091122 |
1.655414 |
1.653225 |
2.188713e-03 |
|
54 |
2.100939 |
1.681726 |
1.679351 |
2.375211e-03 |
|
55 |
2.110756 |
1.707639 |
1.705073 |
2.566401e-03 |
|
56 |
2.120574 |
1.733139 |
1.730377 |
2.762353e-03 |
|
57 |
2.130391 |
1.758214 |
1.755251 |
2.962900e-03 |
|
58 |
2.140208 |
1.782851 |
1.779684 |
3.167868e-03 |
|
59 |
2.150026 |
1.807039 |
1.803662 |
3.377318e-03 |
|
60 |
2.159843 |
1.830766 |
1.827175 |
3.591064e-03 |
|
61 |
2.169661 |
1.854017 |
1.850208 |
3.809028e-03 |
|
62 |
2.179478 |
1.876783 |
1.872752 |
4.031117e-03 |
|
63 |
2.189295 |
1.899050 |
1.894792 |
4.257225e-03 |
|
64 |
2.199113 |
1.920805 |
1.916318 |
4.487225e-03 |
|
65 |
2.208930 |
1.942037 |
1.937316 |
4.720969e-03 |
|
66 |
2.218747 |
1.962734 |
1.957776 |
4.958407e-03 |
|
67 |
2.228565 |
1.982883 |
1.977684 |
5.199460e-03 |
|
68 |
2.238382 |
2.002472 |
1.997028 |
5.443901e-03 |
|
69 |
2.248199 |
2.021490 |
2.015798 |
5.691713e-03 |
|
70 |
2.258017 |
2.039923 |
2.033980 |
5.942722e-03 |
|
71 |
2.267834 |
2.057760 |
2.051563 |
6.196720e-03 |
|
72 |
2.277652 |
2.074988 |
2.068534 |
6.453459e-03 |
|
73 |
2.287469 |
2.091596 |
2.084883 |
6.713126e-03 |
|
74 |
2.297286 |
2.107572 |
2.100597 |
6.975386e-03 |
|
75 |
2.307104 |
2.122904 |
2.115664 |
7.240098e-03 |
|
76 |
2.316921 |
2.137579 |
2.130072 |
7.507068e-03 |
|
77 |
2.326738 |
2.151587 |
2.143811 |
7.776053e-03 |
|
78 |
2.336556 |
2.164915 |
2.156868 |
8.046991e-03 |
|
79 |
2.346373 |
2.177551 |
2.169232 |
8.319764e-03 |
|
80 |
2.356190 |
2.189485 |
2.180890 |
8.594193e-03 |
б) Метод Рунге-Кутта второго порядка:
|
№ |
x |
y |
настоящие значения |
погрешность |
|
0 |
1.570796 |
0.000000 |
0.000000 |
1.373234e-07 |
|
1 |
1.580614 |
0.030937 |
0.030938 |
8.924609e-07 |
|
2 |
1.590431 |
0.062057 |
0.062059 |
1.650933e-06 |
|
3 |
1.600249 |
0.093352 |
0.093355 |
2.417103e-06 |
|
4 |
1.610066 |
0.124813 |
0.124816 |
3.191087e-06 |
|
5 |
1.619884 |
0.156430 |
0.156433 |
3.579840e-06 |
|
6 |
1.629701 |
0.188193 |
0.188198 |
4.356761e-06 |
|
7 |
1.639519 |
0.220094 |
0.220099 |
5.144656e-06 |
|
8 |
1.649336 |
0.252123 |
0.252129 |
5.928879e-06 |
|
9 |
1.659154 |
0.284269 |
0.284276 |
6.728096e-06 |
|
10 |
1.668971 |
0.316524 |
0.316532 |
7.536310e-06 |
|
11 |
1.678789 |
0.348877 |
0.348886 |
8.339416e-06 |
|
12 |
1.688606 |
0.381318 |
0.381328 |
9.146681e-06 |
|
13 |
1.698424 |
0.413838 |
0.413848 |
9.962644e-06 |
|
14 |
1.708241 |
0.446425 |
0.446436 |
1.078884e-05 |
|
15 |
1.718058 |
0.479070 |
0.479082 |
1.162557e-05 |
|
16 |
1.727876 |
0.511762 |
0.511775 |
1.247365e-05 |
|
17 |
1.737693 |
0.544492 |
0.544505 |
1.330642e-05 |
|
18 |
1.747511 |
0.577247 |
0.577261 |
1.416098e-05 |
|
19 |
1.757328 |
0.610018 |
0.610033 |
1.502081e-05 |
|
20 |
1.767146 |
0.642794 |
0.642810 |
1.590707e-05 |
|
21 |
1.776963 |
0.675564 |
0.675581 |
1.682087e-05 |
|
22 |
1.786781 |
0.708318 |
0.708336 |
1.774518e-05 |
|
23 |
1.796598 |
0.741044 |
0.741062 |
1.864678e-05 |
|
24 |
1.806416 |
0.773731 |
0.773751 |
1.953781e-05 |
|
25 |
1.816233 |
0.806369 |
0.806389 |
2.047776e-05 |
|
26 |
1.826051 |
0.838945 |
0.838967 |
2.139663e-05 |
|
27 |
1.835868 |
0.871450 |
0.871472 |
2.233543e-05 |
|
28 |
1.845686 |
0.903871 |
0.903894 |
2.326933e-05 |
|
29 |
1.855503 |
0.936197 |
0.936222 |
2.422899e-05 |
|
30 |
1.865321 |
0.968418 |
0.968443 |
2.518340e-05 |
|
31 |
1.875138 |
1.000520 |
1.000546 |
2.622081e-05 |
|
32 |
1.884956 |
1.032494 |
1.032521 |
2.725284e-05 |
|
33 |
1.894773 |
1.064326 |
1.064354 |
2.831461e-05 |
|
34 |
1.904591 |
1.096006 |
1.096036 |
2.932851e-05 |
|
35 |
1.914408 |
1.127522 |
1.127553 |
3.040438e-05 |
|
36 |
1.924226 |
1.158863 |
1.158894 |
3.148409e-05 |
|
37 |
1.934043 |
1.190015 |
1.190048 |
3.220508e-05 |
|
38 |
1.943860 |
1.220968 |
1.221002 |
3.329424e-05 |
|
39 |
1.953678 |
1.251710 |
1.251745 |
3.441948e-05 |
|
40 |
1.963495 |
1.282229 |
1.282264 |
3.546910e-05 |
|
41 |
1.973313 |
1.312512 |
1.312549 |
3.653233e-05 |
|
42 |
1.983130 |
1.342549 |
1.342586 |
3.766314e-05 |
|
43 |
1.992948 |
1.372326 |
1.372364 |
3.876338e-05 |
|
44 |
2.002765 |
1.401831 |
1.401872 |
4.029932e-05 |
|
45 |
2.012583 |
1.431054 |
1.431095 |
4.116337e-05 |
|
46 |
2.022400 |
1.459981 |
1.460023 |
4.271104e-05 |
|
47 |
2.032218 |
1.488600 |
1.488644 |
4.356949e-05 |
|
48 |
2.042035 |
1.516900 |
1.516945 |
4.513946e-05 |
|
49 |
2.051853 |
1.544868 |
1.544914 |
4.603867e-05 |
|
50 |
2.061670 |
1.572491 |
1.572539 |
4.760116e-05 |
|
51 |
2.071488 |
1.599759 |
1.599807 |
4.856644e-05 |
|
52 |
2.081305 |
1.626658 |
1.626708 |
5.020914e-05 |
|
53 |
2.091123 |
1.653176 |
1.653227 |
5.116425e-05 |
|
54 |
2.100940 |
1.679302 |
1.679354 |
5.214400e-05 |
|
55 |
2.110758 |
1.705022 |
1.705076 |
5.381838e-05 |
|
56 |
2.120575 |
1.730325 |
1.730380 |
5.486732e-05 |
|
57 |
2.130393 |
1.755198 |
1.755255 |
5.656880e-05 |
|
58 |
2.140210 |
1.779629 |
1.779687 |
5.764816e-05 |
|
59 |
2.150028 |
1.803607 |
1.803666 |
5.935029e-05 |
|
60 |
2.159845 |
1.827118 |
1.827178 |
6.045831e-05 |
|
61 |
2.169662 |
1.850151 |
1.850213 |
6.219176e-05 |
|
62 |
2.179480 |
1.872693 |
1.872756 |
6.340402e-05 |
|
63 |
2.189297 |
1.894732 |
1.894797 |
6.517783e-05 |
|
64 |
2.199115 |
1.916256 |
1.916323 |
6.644939e-05 |
|
65 |
2.208932 |
1.937253 |
1.937321 |
6.817245e-05 |
|
66 |
2.218750 |
1.957711 |
1.957781 |
6.949784e-05 |
|
67 |
2.228567 |
1.977618 |
1.977689 |
7.125826e-05 |
|
68 |
2.238385 |
1.996961 |
1.997034 |
7.259335e-05 |
|
69 |
2.248202 |
2.015729 |
2.015803 |
7.434191e-05 |
|
70 |
2.258020 |
2.033910 |
2.033985 |
7.564510e-05 |
|
71 |
2.267837 |
2.051491 |
2.051568 |
7.747502e-05 |
|
72 |
2.277655 |
2.068461 |
2.068540 |
7.898702e-05 |
|
73 |
2.287472 |
2.084808 |
2.084888 |
8.081775e-05 |
|
74 |
2.297290 |
2.100520 |
2.100602 |
8.226867e-05 |
|
75 |
2.307107 |
2.115585 |
2.115669 |
8.424511e-05 |
|
76 |
2.316925 |
2.129992 |
2.130078 |
8.573052e-05 |
|
77 |
2.326742 |
2.143728 |
2.143816 |
8.766864e-05 |
|
78 |
2.336560 |
2.156784 |
2.156873 |
8.921444e-05 |
|
79 |
2.346377 |
2.169145 |
2.169236 |
9.111981e-05 |
|
80 |
2.356194 |
2.180802 |
2.180895 |
9.272398e-05 |
в) Метод Рунге-Кутта четвёртого порядка:
|
№ |
x |
y |
настоящие значения |
погрешность |
|
0 |
1.570796 |
0.000000 |
0.000000 |
1.373234e-07 |
|
1 |
1.727876 |
0.511772 |
0.511775 |
2.877304e-06 |
|
2 |
1.884956 |
1.032514 |
1.032521 |
6.987262e-06 |
|
3 |
2.042035 |
1.516932 |
1.516945 |
1.319137e-05 |
|
4 |
2.199115 |
1.916299 |
1.916323 |
2.317641e-05 |
|
5 |
2.356194 |
2.180851 |
2.180895 |
4.360975e-05 |
4. Вывод:
При изучении методов решения дифференциальных уравнений – методом Эйлера и Рунге-Кутта использовались следующий формулы:
- для метода Эйлера: ук+1= ук+hf(xk, yk); k=0,1,2, …
погрешность: O(h)
- для метода Рунге-Кутта 2-ого порядка:
ук+1= ук+hf(xk+0.5h, yk+0.5hf(xk, yk)); k=0,1,2 …
погрешность: O(h3)
- для метода Рунге-Кутта 4-ого порядка:
k1=f(xk, yk)
k2=f(xk+0.5h, yk+0.5h*k1)
k3=f(xk+0.5h, yk+0.5h*k2)
k4=f(xk+h, yk+h*k3)
ук+1=уi+h/6*(k1+2k2+2k3+k4); k=0,1,2 …
Для нахождения шага при определённой погрешности, постоянно уменьшался шаг на 1.1 до тех пор пока, найденная максимальная погрешность не превышала заданную.
Из результатов программы хорошо видно, что погрешность уменьшается с уменьшением шага. Метод Рунге-Кутта 4-ого порядка лучше, чем метод Рунге-Кутта
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.