Теоретические основы электротехники: Расчётно-графическая работа № 4. Шифр 863

Страницы работы

Содержание работы

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА

Электротехнический факультет

Кафедра «Электротехника»

РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА №4

по курсу «Теоретические основы электротехники»

Шифр: 863

Выполнил

студент группы ЭС-21

Матылицкий И. В.

Проверил

ассистент

Воронин А.В.

2006

Задача №1.

В цепи с источником постоянной ЭДС происходит комутация.

Для заданной схемы:

1.  Классическим методом определить закон изменения во времени токов всех ветвей схемы и напряжений на катушке uL(t) и конденсаторе uc(t).

2.  Построить графики изменения во времени тока в катушке iL(t) и напряжения на её зажимах uL(t).

3.  Операторным методом найти закон изменения во времени тока переходного процесса в катушке iL(t) или напряжения на конденсаторе uc(t).


Исходные данные.

E, В

L, мГн

C, мкФ

r1, Ом

r2, Ом

r3, Ом

r4, Ом

35

110

65

22

17

15

19


Определим классическим методом закон изменения во времени токов всех ветвей схемы и напряжений на катушке uL(t) и конденсаторе uc(t).

Примечание.

iL(0-)=iLpre ; UC(0-)=UCpre ;

iL(0+)=iLsuc ; UC(0+)=UCsuc ;

Es=E;

in(0+)=isucn;

UL(0+)= ULsuc.

inпр=ipstn.

UCпр=UCpst.

Запишем систему дифференциальных уравнений по 1-му и 2-му законам Кирхгофа для схемы при коммутации:

Принимая во внимание, что:

алгебраизируем данную систему следующим образом:

Найдём её определитель, учитывая, что i1, i2, i3– искомые функции (относительно чего эта система решается):

Delta := Matrix([[1, -1, -1], [22, 0, 15+200000/13/p], [22, .11*p+17, 0]])

det := -(4.070000000*p^2+2651.307692*p+600000.0000)/p

Решаем параметрическое уравнение данной системы:

Находим корни:

p := {-325.7134757+203.2999734*I, -325.7134757-203.2999734*I}

Получено два комплексно-сопряжённых корня.

Найдём ток в катушке (iL(0-)) и напряжение на конденсаторе (UL(0-)) до коммутации:

Ro[0] := r[1]+r[2]*(r[3]+r[4])/(r[2]+r[3]+r[4])   ; Ro[1] := r[2]*(r[3]+r[4])/(r[2]+r[3]+r[4]) ;

i[Lpre] := Es*Ro[1]/(Ro[0]*r[2])   ; U[Cpre] := Es*Ro[1]*r[4]/(Ro[0]*(r[3]+r[4])) ;

i[Lpre] := .7000000000А ; U[Cpre] := 6.650000000В.

Согласно закону коммутации:

iL(0-)= iL(0+) ; UC(0-)=UC(0+),

где iL(0+) – ток в катушке сразу после коммутации; UC(0+) – напряжение на конденсаторе сразу после коммутации.

i[Lsuc] := .7000000000 А;

U[Csuc] := 6.650000000 В;

Цепь сразу после момента коммутации:

Рассчитаем цепь с помощью метода узловых потенциалов:

phis := solve(phi[1]*(1/r[1]+1/r[3]) = Es/r[1]-i[Lsuc]+U[Csuc]/r[3], phi[1])

phi[1] := 11.90000000В;

i[suc1] := (phi[0]-phi[1]+Es)/r[1]   ; i[suc3] := (phi[1]-phi[0]-U[Csuc])/r[3] ;

i[suc2] := i[Lsuc].

U[Lsuc] := phi[1]-phi[0]+r[2]*i[suc2]

i[suc1] := 1.050000000А; i[suc2] := .7000000000 А; i[suc3] := .3500000000 А;

U[Lsuc] := 23.80000000В; U[Csuc] := 6.650000000 В;

Выразим производные искомых токов и напряжений:

В результате получим:

Рассчитаем состояние схемы после коммутации при окончании переходного процесса (принуждённый режим):

i[pst1] := Es/(r[1]+r[2])

 i[pst2] := i[pst1] 

i[pst3] := 0 

U[Cpst] := i[pst2]*r[2]

i[pst1] := .8974358974 А; i[pst2] := .8974358974А; i[pst3] := 0. А;

 U[Cpst] := 15.25641026В; U[Lpst] := 0В;

В результате получим:

Запишем выражения функций токов и напряжений с учётом параметра p и найденных принуждённых значений:

i[1] := proc (t) options operator, arrow; i[pst1]+A[1]*exp(Re(p[1])*t)*sin(abs(Im(p[1]))*t+phi[1]) end proc

i[2] := proc (t) options operator, arrow; i[pst2]+A[2]*exp(Re(p[1])*t)*sin(abs(Im(p[1]))*t+phi[2]) end proc

i[3] := proc (t) options operator, arrow; i[pst3]+A[3]*exp(Re(p[1])*t)*sin(abs(Im(p[1]))*t+phi[3]) end proc

U[L] := proc (t) options operator, arrow; U[Lpst]+A[4]*exp(Re(p[1])*t)*sin(abs(Im(p[1]))*t+phi[4]) end proc

U[C] := proc (t) options operator, arrow; U[Cpst]+A[5]*exp(Re(p[1])*t)*sin(abs(Im(p[1]))*t+phi[5]) end proc

Найдём неизвестные параметры функций с помощью решения следующих систем уравнений. Для этого условимся, что t=0+ (непосредственно после коммутации):

curs[1] := {i[1](0) = i[suc1], (Es-r[2]*i[suc2]-r[1]*i[suc1])*(1-r[1]/(r[3]+r[1]))/Lk-i[suc3]/((r[3]+r[1])*Ck) = id[1]}

curs[2] := {i[2](0) = i[suc2], (Es-r[2]*i[suc2]-r[1]*i[suc1])/Lk = id[2]}

curs[3] := {i[3](0) = i[suc3], -(i[suc3]/Ck+r[1]*(Es-r[2]*i[suc2]-r[1]*i[suc1])/Lk)/(r[3]+r[1]) = id[3]}

vols[L] := {U[Lsuc] = U[L](0), (r[2]*i[suc2]+r[1]*i[suc1]-Es)*(r[2]+r[1]-r[1]^2/(r[3]+r[1]))/Lk+r[1]*i[suc3]/((r[3]+r[1])*Ck) = Ud[L]}

vols[C] := {U[Csuc] = U[C](0), i[suc3]/Ck = Ud[C]},

где Xdn – производная функции Xn  в точке t=0+:

id[2] := -325.7134757*A[2]*exp(-325.7134757*t)*sin(203.2999734*t+phi[2])+203.2999734*A[2]*exp(-325.7134757*t)*cos(203.2999734*t+phi[2])id[3] := -325.7134757*A[3]*exp(-325.7134757*t)*sin(203.2999734*t+phi[3])+203.2999734*A[3]*exp(-325.7134757*t)*cos(203.2999734*t+phi[3])Ud[L] := -325.7134757*A[4]*exp(-325.7134757*t)*sin(203.2999734*t+phi[4])+203.2999734*A[4]*exp(-325.7134757*t)*cos(203.2999734*t+phi[4])Ud[C] := -325.7134757*A[5]*exp(-325.7134757*t)*sin(203.2999734*t+phi[5])+203.2999734*A[5]*exp(-325.7134757*t)*cos(203.2999734*t+phi[5])id[1] := -325.7134757*A[1]*exp(-325.7134757*t)*sin(203.2999734*t+phi[1])+203.2999734*A[1]*exp(-325.7134757*t)*cos(203.2999734*t+phi[1])

Системы уравнений составлены по общей схеме:

Перепишем их в числовой форме:

curs[1] := {.8974358974+1.*A[1]*sin(phi[1]) = 1.050000000, -145.5301455 = -325.7134757*A[1]*sin(phi[1])+203.2999734*A[1]*cos(phi[1])}

curs[2] := {.8974358974+1.*A[2]*sin(phi[2]) = .7000000000, 0. = -325.7134757*A[2]*sin(phi[2])+203.2999734*A[2]*cos(phi[2])}

curs[3] := {1.*A[3]*sin(phi[3]) = .3500000000, -145.5301455 = -325.7134757*A[3]*sin(phi[3])+203.2999734*A[3]*cos(phi[3])}

vols[L] := {23.80000000 = 1.*A[4]*sin(phi[4]), 3201.663202 = -325.7134757*A[4]*sin(phi[4])+203.2999734*A[4]*cos(phi[4])}

vols[C] := {6.650000000 = 15.25641026+1.*A[5]*sin(phi[5]), 5384.615385 = -325.7134757*A[5]*sin(phi[5])+203.2999734*A[5]*cos(phi[5])}

Найдём корни этих уравнений:

curss[1] := {phi[1] = 2.828598118, A[1] = .4954842901}, {phi[1] = -.3129945356, A[1] = -.4954842901}

curss[2] := {phi[2] = -2.583591755, A[2] = .3728783918}, {phi[2] = .5580008982, A[2] = -.3728783918}

curss[3] := {phi[3] = 1.987916830, A[3] = .3828235608}, {phi[3] = -1.153675824, A[3] = -.3828235608}

volss[L] := {A[4] = -58.90170041, phi[4] = -2.725638358}, {A[4] = 58.90170041, phi[4] = .4159542952}

volss[C] := {A[5] = -15.33934733, phi[5] = 2.545917728}, {A[5] = 15.33934733, phi[5] = -.5956749257}


Перепишем функции токов и напряжений в соответствии с найденными корнями (берутся корни с An>0):

i[1] := .8974358974+.4954842901*exp(-325.7134757*t)*sin(203.2999734*t+2.828598118)

i[2] := .8974358974+.3728783918*exp(-325.7134757*t)*sin(203.2999734*t-2.583591755)

i[3] := .3828235608*exp(-325.7134757*t)*sin(203.2999734*t+1.987916830)

U[L] := 58.90170041*exp(-325.7134757*t)*sin(203.2999734*t+.4159542952)

U[C] := 15.25641026+15.33934733*exp(-325.7134757*t)*sin(203.2999734*t-.5956749257)


Построим графики изменения во времени тока в катушке iL(t) и напряжения на её зажимах uL(t).

График изменения во времени тока в катушке (iL(t)= i2(t)):

[Plot]


График изменения во времени напряжения на зажимах катушки uL(t):

[Plot]

Операторным методом найдём закон изменения во времени напряжения на конденсаторе uc(t).

Независимые начальные условия:

Составим операторную схему замещения цепи:

Запишем уравнения Кирхгофа для обозначенных контуров и токов:

Перепишем в численном виде и решим систему относительно образов токов:

ks := {Ip[2]+Ip[3] = Ip[1], (.11*p+17)*Ip[2]+22*Ip[1] = 0.7700000000e-1+35/p, (200000/13/p+15)*Ip[3]+22*Ip[1] = 28.35000000/p}

Решение системы:

kssi := {Ip[1] = .3500000000*(2000000000.+8140100.*p+15873.*p^2)/(p*(5291.*p^2+3446700.*p+780000000.)), Ip[2] = .7000000000*(3446700.*p+5291.*p^2+1000000000.)/(p*(5291.*p^2+3446700.*p+780000000.)), Ip...kssi := [Ip[1] = .3500000000*(2000000000.+8140100.*p+15873.*p^2)/(p*(5291.*p^2+3446700.*p+780000000.)), Ip[2] = .7000000000*(3446700.*p+5291.*p^2+1000000000.)/(p*(5291.*p^2+3446700.*p+780000000.)), Ip...

Выразим следующим образом напряжение на конденсаторе:

Up[C] := U[Csuc]/p+Ip[3]/(Ck*p)

Up[C] := .3500000000*(100529.*p^2+146887300.*p+0.3400000000e11)/(p*(5291.*p^2+3446700.*p+780000000.))

Определим две функции-образа следующим образом:

Fp[1] := 35185.15000*p^2+51410555.00*p+0.1190000000e11

Fp[2] := p*(5291.*p^2+3446700.*p+780000000.)

Найдём параметр p процесса через уравнение:

В результате получаем следующие решения:

pss := [0., -325.7134757+203.2999733*I, -325.7134757-203.2999733*I]

Найдём через лаплас-образ функции напряжения на конденсаторе саму функцию следующим образом:

В результате развёртки экспоненциальных функций и упрощения получим:

u[C] := 15.25641026-8.606410268*exp(-325.7134757*t)*cos(203.2999733*t)+12.69745168*exp(-325.7134757*t)*sin(203.2999733*t)


Численные отличия функций, полученных при классическом и операторном методе расчёта:


Задача №2

На вход несимметричного чётырёхполюсника подаётся импульс напряжения u1(t) длительностью t0. Значения параметров элементов схемы четырёхполюсника и параметров импульса приведены в таблицы. Определить закон изменения  во времени напряжения u2(t) и построить в масштабе его график. Задачу решить с помощью интеграла Дюамеля.

r1 ,Ом

r2 , Ом

r3 , Ом

L,мГн

С, мкФ

U0 ,В

t0 ,мс

8

4

6

22

55

18

8


Определим переходную функцию h(t) для выходных зажимов исследуемой цепи. (Переходная функция – зависимость напряжения на выходе схемы от времени при подаче на вход схемы единичного напряжения. Понятие переходной функции как и весь способ применимо только к схемам с нулевыми независимыми начальными условиями.)


Для определения переходной функции для напряжения на выходе четырёхполюсника h(t) необходимо знать ток i3 3-й ветви, напряжение на которой и является напряжением на выходе. Для этого запишем по законам Кирхгофа и решим систему относительно токов i1 , i3:

ks := {i[1]+i[L] = i[3], r[2]*i[L]+Lk*(diff(i[L], t))+r[3]*i[3] = Es1}

ks := {i[1]+0.7692307692e-1-0.7692307692e-1*exp(-337.6623377*t) = i[3], .3076923077+.2637362639*exp(-337.6623377*t)+6*i[3] = 1}

kss := {i[3] = .1153846154-0.4395604398e-1*exp(-337.6623377*t), i[1] = 0.3846153846e-1+0.3296703294e-1*exp(-337.6623377*t), t = t}

После умножения полученного выражения для тока i3 на r3 получим следующее выражение для h(t) :

h(t)=.6923076924-.2637362639*exp(-337.6623377*t)

Запишем выражение h(t-τ) путём формальной замены t на (t-τ): τ – переменная интегрирования; t – момент времени выходного напряжения:

h(t)= .6923076924-.2637362639*exp(-337.6623377*t+337.6623377*tau)

Найдём аналитическое выражение для функции входного импульса:

k := -2250.000000 b := 36

С помощью интеграла Дюамеля определим функцию напряжение на выходе четырёхполюсника:


U[21] := 2*U[0]*h[t_]+int((diff(U[a1], tau))*h[tau_], tau = 0 .. t)

U[21] := 26.68047337-11.25190195*exp(-337.6623377*t)-1557.692308*t

U[22] := 2*U[0]*h[t_]+int((diff(U[a1], tau))*h[tau_], tau = 0 .. 1/2*t0)-U[0]*h[t_t0]+int((diff(U[b1], tau))*h[tau_], tau = 1/2*t0 .. t)

U[22] := 6.23076923-11.25190195*exp(-337.6623377*t)+6.504649201*exp(-337.6623377*t+1.350649351)

U[23] := 2*U[0]*h[t_]+int((diff(U[a1], tau))*h[tau_], tau = 0 .. 1/2*t0)-U[0]*h[t_t0]+int((diff(U[b1], tau))*h[tau_], tau = 1/2*t0 .. t0)-1/2*U[0]*h[t_end]+int((diff(U[c1], tau))*h[tau_], tau = t0 .. ...

U[23] := -11.25190195*exp(-337.6623377*t)+6.504649201*exp(-337.6623377*t+1.350649351)+2.373626375*exp(-337.6623377*t+2.701298702)

В итоге получим функцию:

Построим гпафик функции напряжения на выходе четырёхполюсника:

Похожие материалы

Информация о работе