Передаточные функции и частотные характеристики активных фильтров

Передаточные функции и частотные характеристики активных фильтров

1 Краткие теоретические сведения

При каскадном соединении фильтров общую передаточную функцию фильтра представляют в виде произведения сомножителей W₁,W₂,…W_m,каждый из которых реализуется отдельным каскадом N₁, N₂,…N_m. Такой способ построения фильтров получил в настоящее время наибольшее распространение. Если звенья (каскады) такого фильтра не влияют друг на друга, то схема обладает требуемой передаточной функцией. Для реализации не взаимодействующих звеньев можно использовать ОУ, обладающие высоким R_вх и низким R_вых.

Для фильтров 1-го порядка передаточная функция представляется в виде:

 ,

 где C – постоянное число, а F(p) – полином нулевой или первой степени.

Для фильтра 2-го порядка передаточная функция имеет вид:

                                   ,

где B и С – постоянные числа, а F(p) – полином второй или меньшей степени.

Амплитудно – частотная характеристика ФНЧ через коэффициент передачи:

Для ФНЧ 2-го порядка  с частотой среза ω_c типовая полиномиальная  передаточная функция имеет следующий вид:

Постоянные В и С представляют собой нормированные числовые коэффициенты; постоянная k – коэффициент усиления.

Для фильтров более высокого порядка данное выражение описывает передаточную функцию типового звена 2-го порядка со своими коэффициентами B, C и k.

Фильтр верхних частот – частотно-избирательное устройство,  пропускающее  сигналы высоких частот и подавляющие сигналы низких частот. Характеристика ФВЧ может быть описана при помощи  коэффициента передачи А(ω) или при помощи затухания α(ω) (для нормированной АЧХ):

 Примерная амплитудно – частотная характеристика ФВЧ через коэффициент передачи имеет вид:

.

АЧХ ФВЧ

Типовая полиномиальная передаточная функция звена ФВЧ 2-го порядка получается из передаточной функции нормированного ФНЧ (имеющего ω_с, равную 1 рад/с):

 с  помощью преобразования:

В результате получаем:

где   k – коэффициент усиления ФВЧ (значение W(p) при p → ∞);

ω_с – частота среза ФВЧ;

В и С – нормированные коэффициенты звена ФНЧ 2-го порядка.

Аналогично фильтру нижних частот, добротность определяется соотношением:

АЧХ ФВЧ определяется формулой:

2 Схемы активных фильтров нижних частот

Вариант №1. ФНЧ на основе операционного усилителя (ОУ) с многопетлевой обратной связью (МОС) и бесконечным коэффициентом усиления

Передаточная функция фильтра

Из полученного выражения видно, что схема ФНЧ на ОУ с МОС реализует типовую полиномиальную передаточную функцию с инвертирующим коэффициентом усиления k, причем справедливы равенства:

Если задаться значениями емкостей С₁ и С₂, то из данной системы можно найти значения сопротивлений R₁, R₂ и R₃. Выведем формулы для расчета сопротивлений:

из (1):

из (3):

Подставляем эти значения в (2):

Для того, чтобы значение R₂ было вещественным, необходимо ограничить значение С₁:

Вариант №2. ФНЧ на основе источника напряжения, управляемого напряжением

Передаточная функция фильтра

Из полученного выражения видно, что схема ФНЧ на ИНУН реализует типовую полиномиальную передаточную функцию с неинвертирующим коэффициентом усиления:

Из (2): подставляем в (3):

Для того, чтобы R₁ было вещественным, ограничивается диапазон возможных значений С₁:

Из (2):

Значения R₃ и R₄ выбирается из условия минимизации смещения по постоянному току ОУ:

отсюда:

Вариант №3. ФНЧ на основе биквадратного звена

Передаточная функция фильтра

ФНЧ на основе биквадратной схемы реализует типовую полиномиальную передаточную функцию звена 2-го порядка с неинвертирующим коэффициентом усиления  k, причем справедливо:

Из (2):

Из (3):

Из (1):

          Значения С₁ и R₄ выбираются из условий:

          В этом случае получаем:

Из полученной системы видно, что биквадратная схема относительно легко настраивается. Для выбранных значений С₁ и R₄ изменение R₂ приводит к изменению коэффициента В, изменение R₃ – к изменению коэффициента С, а изменение R₁– к изменению коэффициента усиления k.

Вариант №4.  ФНЧ нечетного порядка

Для ФНЧ нечетного порядка одно из звеньев должно обладать передаточной функцией первого порядка:

где k –коэффициент усиления звена, а C – нормированный коэффициент.

Указанную функцию реализует схема:

Отсюда запишем коэффициенты передаточной функции:

Из (1) получаем:   

Значения сопротивлений R₂ и R₃ выбираются исходя из условия минимизации смещения ОУ по постоянному току:

Отсюда получаем:

Схема легко настраивается: при выбранном значении С₁ = 10/f_c, мкФ, частота среза устанавливается резистором R₁, а коэффициент усиления – отношением R₃/R₂. В случае k = 1 R₃ заменяется короткозамкнутой цепью, а R₂ – разомкнут.

Для данного звена необходимо обеспечить путь протекания постоянного тока на земляную шину с входа фильтра.

3 Схемы активных фильтров верхних частот

Вариант №5. ФВЧ на основе ОУ с многопетлевой обратной связью и бесконечным коэффициентом усиления

Передаточная  функцию фильтра приведена ниже

Из полученного выражения видно, что схема ФВЧ на ОУ с МОС реализует типовую передаточную функцию звена ФВЧ 2-го порядка с коэффициентами:

Если задаться значением емкости С₁, то из (1) получим:

из (2):                     

из (3):  

Вариант №6. ФВЧ на основе источника напряжения, управляемого напряжением

Передаточная функция фильтра:

Отсюда запишем коэффициенты передаточной функции ФВЧ 2-го порядка:

Если задаться значением С₁, то из (3) получим:

подставим в (2):

 делим обе части на R₂

Из (3):            

Номиналы R₃ и R₄ выбираются из условия минимизации смещения по постоянному току ОУ:

Вариант №7. ФВЧ нечетного порядка

Для ФВЧ нечетного порядка одно из звеньев должно обладать передаточной функцией первого порядка:

где k – коэффициент усиления звена при , а С – нормированный коэффициент звена 1-го порядка ФНЧ-прототипа.

Указанную функцию реализует схема:

Передаточная функция фильтра:

.

Для нахождения расчетных соотношений схемы решаем систему: