Автоматизация аналитических вычислений в системе компьютерной математики MatLab

Лабораторная работа №3

«Автоматизация аналитических вычислений в системе компьютерной математики MatLab»

Цель работы: Освоение  аналитических вычислений и решения дифференциальных уравнений и систем, а также  процесса  их автоматизации в СКМ MatLab.

Выполнил Громов Евгений, ЭМ-22, вариант 10.

Задание к лабораторной работе:

1. Разложить функцию в ряд Тэйлора.

Листинг программы:

taylor(exp(-x)*sin(x))

Результат расчёта:

ans =

x-x^2+1/3*x^3-1/30*x^5

2.  Преобразовать и упростить выражение

с помощью функции simplify();

Листинг программы:

syms x

simplify(cos(x)^5+sin(x)^4+2*cos(x)^2-2*sin(x)^2-cos(2*x))

Результат расчёта:

ans =

 cos(x)^5+cos(x)^4

3.  Выполнить эквивалентные преобразования: 

Листинг программы:

syms x y a b c d

expand([sin(x+y) (a+d)^3 (a+b+c)^2])

Результат расчёта:

ans =

[sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y),       a^3+3*a^2*d+3*a*d^2+d^3, a^2+2*a*b+2*a*c+b^2+2*b*c+c^2]

4. Разложить  выражения на множители:

 Убедиться в эквивалентности преобразований.

Листинг программы:

syms x

factor(x^3+4*x^2+5*x+2)

expand((x+2)*(x+1)^2)

factor(3*x^6+12*x^4+96*x^2)

expand(3*x^2*(x^4+4*x^2+32))

factor(x^5+5*x^3-6*x^2)

expand(x^2*(x-1)*(x^2+x+6))

Результат расчёта:

ans = (x+2)*(x+1)^2

ans = x^3+4*x^2+5*x+2

ans = 3*x^2*(x^4+4*x^2+32)

ans = 3*x^6+12*x^4+96*x^2

ans = x^2*(x-1)*(x^2+x+6)

ans = x^5+5*x^3-6*x^2

5.  Вычислить производную функции. Построить график исходной функции и её первой производной (пределы изменения аргумента выбрать самостоятельно) и получить приближённые численные значения результирующей функции в двух точках: х1 и х2.

Листинг программы:

syms pr

pr=diff('asin(x)/(x^2-2.5)')

x=-1:0.01:1;

fn=asin(x)./(x.^2-2.5);

fnp=diff(fn);

fnp(201)=fnp(200);

plot(x,fn,x,fnp)

x=[1.4; 0.65];

asin(x)./(x.^2-2.5)

Результат расчёта:

pr =

1/(1-x^2)^(1/2)/(x^2-2.5)-2*asin(x)/(x^2-2.5)^2*x

ans =

  -2.9089 + 1.6056i

  -0.3406

График:

6.  Вычислить неопределенный интеграл функции.

Листинг программы:

syms x

int(1/(x*(x+1.6)^2),x)

Результат расчёта:

ans =

25/64*log(x)+25/8/(5*x+8)-25/64*log(5*x+8)

7.  Решить аналитически алгебраическое уравнение A*x^2 + B*x + C = D относительно переменных  x и B. 

Листинг программы:

syms x B

solve('A*x^2 + B*x + C = D',x)

solve('A*x^2 + B*x + C = D',B)

Результат расчёта:

ans =

[ 1/2/A*(-B+(B^2-4*A*C+4*A*D)^(1/2))]

[ 1/2/A*(-B-(B^2-4*A*C+4*A*D)^(1/2))]

ans =

-(A*x^2+C-D)/x

Решить уравнения относительно переменной х:

Листинг программы:

syms x

solve('x+1/x=2*(m^2+n^2)/(m^2-n^2)',x)

solve('x^2/a^3+b^3/x^2=b/a+b^2/a^2',x)

Результат расчёта:

ans =

[ (m+n)/(m-n)]

[ (m-n)/(m+n)]

ans =

[  a^(1/2)*b]

[ -a^(1/2)*b]

[  b^(1/2)*a]

[ -b^(1/2)*a]

Использовать функцию solve(f(x),x).

8. Решить аналитически системы алгебраических уравнений:

Листинг программы:

syms x y

[x,y]=solve('x+2*Pi*y=a','4*x+y=b')

[x,y]=solve('x-y=8*a^2','sqrt(x)+sqrt(y)=4*a')

Результат расчёта:

x = -(-2*pi*b+a)/(-1+8*pi)

y = (4*a-b)/(-1+8*pi)

x = 9*a^2

y = a^2

9. Решить численно ОДУ первого и второго порядка. Построить графики полученных в результате решения функций.

, ,  x_n=2, x_k=5, n=1000.

Листинг программы:

function rez=myfunc(x,y)

rez=(4*x^3+3*x^2-y(1))/x;

y0=1;

[X,Y]=ode23(@myfunc,[2 5],y0,1000)

plot(X,Y)

График:

, , диапазон изменения аргумента 0¸2

Листинг программы:

function v=fn1(x,y)

v=[0; 0];

v(1)=y(2);

v(2)=(14-16*x)*exp(-x)+y(2);

y0=[0, -1];

[T,Y]=ode45(@fn1,[0 2],y0);

plot(T,Y)

График:

10. Решить численно систему ОДУ. Построить графики полученных в результате решения функций.

, , 0¸2

Листинг программы:

function ur2=vid2(t,v);

ur2=zeros(2,1);

ur2(1)=2*v(1)-3*v(2)+cos(t);

ur2(2)=v(1)-2*v(2)+3*sin(t);

y0=[0.1 0];

[T,V]=ode45(@vid2,[0 2],y0);

plot(T,V)

График:

Вывод:

При выполнении данной лабораторной работы я освоил  аналитические вычисления и решение дифференциальных уравнений и их систем, а также  процессы  их автоматизации в СКМ MatLab.