Электрические цепи однофазного синусоидального тока

Страницы работы

8 страниц (Word-файл)

Фрагмент текста работы

сумма одних векторов была равна сумме других векторов токов; а сумма векторов падений напряжения в некотором контуре была равна сумме векторов ЭДС, действующих в этом контуре. Если же векторы напряжений располагать ещё и в том же порядке, как они следуют в контуре,  то  каждой  точке ВД будет соответствовать некоторая точка схемы, и тогда можно будет производить по ВД ещё и измерения некоторых невычисленных напряжений.

3.4. R, L, C  - элементы в цепях синусоидального тока

3.4.1. Резистивный элемент R (рис. 3.3)

Пусть ток   iR (t) = Im sin (wt+yi). Природа сопротивления R протеканию электрического тока такова, что оно не вызывает между током и напряжением сдвига по фазе. Поэтому связь между током и напряжением здесь подчиняется закону Ома в любой момент времени:

uR(t) = R Im sin (wt+yi) = URm sin (wt+yu).

Мгновенная мощность это произведение мгновенных значений напряжения и тока:

pR(t)=uR(t)iR(t)=URm Im sin2(wt+yi)=UI[1-cos(2wt+2yi)]=

= U I – U I cos(2wt+2yi).

Активной мощностью цепи переменного тока принято называть среднее за период значение мгновенной мощности. В данном случае активная мощность P = U I = R I2, то есть вычисляется по той же формуле, что и в цепях постоянного тока.  

  По полученным соотношениям можно построить ВД (рис. 3.4).

3.4.2. Индуктивный элемент L (рис. 3.5)

Индуктивность оказывает сопротивление переменному току тем, что в ней возникает ЭДС самоиндукции, которая задерживает изменение тока, то есть заставляет его отставать по фазе от изменяющегося напряжения. Возможны моменты, когда напряжение уже есть, а ток равен нулю. В таком случае законом Ома воспользоваться нельзя. Поэтому напряжение  uL(t)  будем находить по закону электромагнитной индукции:

uL(t) = L  = L  [ Im sin(wt+yi)] = L w ILm cos(wt+yi) =

= xL I msin(wt+yi + 90o) = Um sin(wt+yi).

Здесь величина   xL = wL [Гн =  Ом с = Ом] обладает размерностью сопротивления и поэтому называется индуктивным (реактивным) сопротивлением синусоидальному переменному току.

Отметим, однако, что закон Ома, несправедливый для мгновенных значений, выполняется для действующих значений и амплитуд:   uL(t) ¹ xL iL(t),    UL = xL IL ,    ULm = xL ILm .

Наконец,  видим, что по фазе напряжение на индуктивности опережает ток на +90о: yu= yi + 90o.

pL(t) = uL(t) iL(t) = UL IL sin(wt+yu) sin(wt+yi) =

= 2 UL IL  [cos (a-b) – cos (a+b)] = UL IL [ - cos(2wt+2yi +90o)] =

= UL IL sin [2(wt+yi)] .

Мгновенная мощность индуктивного элемента является чистой синусоидой, но удвоенной частоты.   Следовательно,   активная   мощность в индуктивности не выделяется: PL = 0.  Такие элементы называются реактивными.

Векторная диаграмма имеет вид рис. 3.6.

3.4.3. Ёмкостный элемент C (рис. 3.7)

Выражение для тока найдём как изменение заряда ёмкости во времени. Будем считать напряжение заданным: uС(t) =UCm sin(wt+yu).

iC(t)=  = C  = C wUCm cos(wt+yu) =

=  UCm sin(wt+yu + 90o) = ICm sin(wt+yi).

Синусоидальному току ёмкость оказывает сопротивление, равное

xC =  =  [ ].

Закон Ома справедлив лишь для действующих и амплитудных значений, так как ток iC(t) и напряжение  uC(t) сдвинуты по фазе на 90о, причём напряжение отстаёт от тока:   yu = yi  - 90o.

pС(t) = uС(t) iС(t) = UCm ICm sin(wt+yu) sin(wt+yi) =UC IC sin[2(wt+yu)] .

PC = 0, то есть емкость – реактивный элемент, а векторная диаграмма имеет вид рис. 3.8.

3.4.4. Последовательное включение R, L, C элементов (рис. 3.9)

Пусть i(t) = Im sin(wt+yi).

Входное напряжение цепи найдём по П закону Кирхгофа:

u(t) = uR + uL + uC  = R Im sin(wt+yi) + xL  Im sin(wt+yi + 90o) +

+ xС Im sin(wt+yi – 90o) = Im [R sin(wt+yi) + (xL – xC ) cos(wt+yi)] =

=  Im sin(wt+yi +j) = Z Im sin(wt+yi +j) = Um sin(wt+yu),

так как   m sina  n cosa = sin (aj), причём

j = arctg  = arctg .

Получим теперь выражения для мгновенной и активной мощностей цепи:

p(t) = u(t) i(t) = Um Im sin(wt+yu) sin(wt+yi) =

= U I [cos (a-b) – cos (a+b)] =

= U I cosj  - U I cos(2wt+2yi+j).

P = (t)dt = U I cosj = Z I I cosj = R I2.

Таким образом, для цепи с последовательным соединением R, L, C справедливы следующие расчётные соотношения:

- полное сопротивление цепи  Z = ,

- сдвиг по фазе между  напряжением и током  j = yu - yi = arctg,

- закон Ома  Um = Z Im , U = Z I,

- второй закон Кирхгофа    U = ,

- активная мощность цепи    P = U I cos j = R I2.

На основании полученных соотношений можно построить ВД и треугольник сопротивлений цепи (рис. 3.10). Они построены для случая  xL >xC. При этом

R = Z cos j;    x = xL – xC = Z sinj;      Ua = R I;       Up = (xL – xC) I = x I.

3.4.5. Параллельное включение R, L, C (рис. 3.11)

Пусть u(t) = Um sin(wt+yu).

Входной ток определим по I закону Кирхгофа:

i(t) = iR + iL + iC  =

=  Um sin(wt+yu) +  Um sin(wt+yu- 90o) +

+  Um sin(wt+yu + 90o) = Um [g sin(wt+yu) –

 - (bL – bC ) cos(wt+yu)] =  Um sin(wt+yu - j) = Y Um sin(wt+yu - j) =

= Im sin(wt+yi),

причём   j = yu - yi = arctg .

P = (t)dt = U I cosj = U Y U cosj = g U2.

Таким образом, для цепи с параллельным соединением R, L, C расчётные соотношения записываются через проводимости:

- проводимости – активная -  g =   ,

                               реактивные – bL = ;     bC = ;

                               полная –  Y = ,

- закон Ома   Im = Y Um , I = Y U,

- активная и реактивная составляющие тока

Похожие материалы

Информация о работе