Расчет цепи без нулевого провода

Исходные данные

Параметры ЭДС: Рис.1;   А = 20;   FI = 300.0;   В = 0

Линия: R = 50 Ом;   XL = 80 Ом;   XC = 40 Ом

Нагрузка 1: R = 0 Ом;   XL = 0 Ом;   XC = 1500 Ом

Нагрузка 2: R = 80 Ом;   XL = 20 Ом;   XC = 0 Ом

0–провод: R = 60 Ом;   XL = 40 Ом;   XC = 0 Ом

I)  Разложим графическую несинусоидальную кривую в ряд Фурье

k=1

k=3

k=5

II)  По полученному аналитическому выражению несинусоидальной ЭДС построим результирующую кривую ЭДС.

 

III)  Произведём расчёт действующих значений токов в 1 и 2 нагрузке и в линии по гармоникам, определим показания приборов.

Расчётная схема

     

      Определим показания вольтметров V₁ и V₂. Вольтметр V₁ измеряет линейное напряжение источников ЭДС, а вольтметр V₂ – фазное напряжение. Положение ключа в нулевом проводе не влияет на показания этих приборов. Приборы электромагнитной системы измеряют действующее значение несинусоидальной величины. В линейном напряжении источников ЭДС отсутствуют гармоники нулевой последовательности, т.е. кратные трём.

      Для определения показаний амперметров и вольтметра треугольник сопротивлений нагрузки 1 преобразуем в эквивалентную звезду и запишем сопротивления для всех ветвей электрической цепи:

     

      С учётом данных преобразований электрическая цепь будет иметь следующий вид (рис.2).

Расчёт цепи без нулевого провода (ключ разомкнут)

      В трёхфазной электрической цепи в симметричном режиме система фазных ЭДС третьей гармоники образует нулевую последовательность:

      Поэтому в трехпроходной трёхфазной электрической цепи без нулевого провода отсутствуют токи третьей гармоники в линейных проводах и нагрузке

                 

      Система ЭДС первой и пятой гармоник представляет собой симметричную систему ЭДС прямой и обратной последовательностей (т.е. E_A + E_B +E_C = 0).

      Напряжение смещения нейтрали между точками О – О´ – 10:

      Следовательно, = Это даёт нам право соединить эти узлы проводами и расчёт вести на одну фазу.

Расчёты по первой гармонике

      Первая гармоника образует прямую последовательность фаз:

      Амперметр А₁₂ показывает действующее значение тока фазы В:

      Амперметр А₂₂ показывает действующее значение тока, протекающего по нагрузке в фазе В:

      Амперметр А₃₂ показывает действующее значение тока, протекающего по нагрузке , соединённой треугольником, между узлами а и b:

      Амперметр А₀ показывает действующее значение тока, протекающего в нулевом проводе. Так как ключ разомкнут, ток через амперметр не протекает:

.

      Ваттметр W₂ измеряет активную мощность фазы В:

      Найдём напряжение между точками 3 и 12: U_3-12

      Запишем второй закон Кирхгофа для следующего контура (рис. 3)

      1-я гармоника:

B

      3-я гармоника:

      5-я гармоника:

B

      Действующее значение напряжения U_3-12

Расчёт цепи с нулевым проводом (ключ замкнут)

      Симметричные системы ЭДС прямой и обратной последовательностей в режиме симметричной нагрузки порождают симметричные системы токов.

Их сумма в любой момент времени равна нулю:

      I закон Кирхгофа для узла 0:

      Следовательно, , .

      Поэтому для 1-й и 5-й гармоник выполняется равенство  Узлы равных потенциалов соединяем между собой проводом. В итоге получится схема для расчёта 1-й и 5-й гармоник, аналогичная схемам для расчёта без нулевого провода. Поэтому токи, протекающие по ветвям, останутся те же, что и в случае разомкнутого ключа.

      Амперметр А₃₂ показывает действующее значение тока I_ab в первой нагрузке между узлами a и b

      Амперметр А₀ показывает действующее значение тока в нулевом проводе

 

      Ваттметр W₂ измеряет активную мощность в фазе В:

      Определим напряжение между точками 3 – 12 (U_{3 – 12}). По второму закону Кирхгофа составленного для контура рис.3 для третьей гармоники, получим:

     

      Напряжение U_{3 – 12} по первой и пятой гармоникам были определены ранее при расчёте цепи при разомкнутом ключе, при замыкании ключа они не изменились: 

                              

    Действующее напряжение

      Напряжения U_{3 – 12} в мгновенной форме при замкнутом ключе:

Кривые напряжения U_{3 – 12}(t) при разомкнутом ключе (рис. 4) и при замкнутом ключе (рис. 5).

Таблица результатов

Номер гармоники	ЭДС фазы А, ЕАm		Ток линии, Iл	Ток первой нагрузки		Ток второй нагрузки	Мощность, Рw
	В		А	А		A	ВТ
1
3
5
Показания прибора	Uv1	Uv2	IA12	IA32		IA22	Рw2
Ключ замкнут
Ключ разомкнут
Ток в нулевом проводе I0, A			Действующее значение напряжения U3-12
			Ключ замкнут		Ключ разомкнут