Разложение функции в ряд Лорана в областях, страница 4

Ответ. 1). в кольце .

             2).   в кольце .

Задача 9. Разложить функцию в ряд Лорана в областях.

Решение. Корнями уравнения z²+3z-10=0 являются числа z₁=2 и z₂=-5. Разложим эту

дробь на простые дроби:  Или . При z=2 получим A=-3/7. Если положить z=-5, то получим В=10/7. Следовательно,     1). В кольце  имеем . Тогда дробь можно представить следующим образом:  Воспользуемся формулой для бесконечно убывающей геометрической прогрессии:  , где . В первой дроби q=2/z, во второй дроби q= -z/5. Следовательно,   2). В кольце   выполняются неравенства  .  Следовательно, .

Ответ. 1). в кольце .

             2).   в кольце .

Задача 9. Разложить функцию в ряд Лорана в областях.

Решение. Корнями уравнения z²+7z+10=0 являются числа z₁=-5 и z₂=-2. Разложим эту дробь на простые дроби:  Или .  При z=-5 получим -3A=-4, т.е. А= 4/3.  Если z=-2, то 3B=-1, т.е. В=-1/3. Следовательно,     1). В кольце  имеем . Тогда дробь можно представить следующим образом:  Воспользуемся формулой для бесконечно убывающей геометрической прогрессии:  , где . В первой дроби q=-z/5, во второй дроби q=-2/z. Следовательно,

     2). В кольце   выполняются неравенства  .  Следовательно,

Ответ. 1).     в кольце .

             2).    в кольце .

Задача 9. Разложить функцию в ряд Лорана в областях.

Решение. Корнями уравнения z²+6z+5=0 являются числа z₁=-1 и z₂=-5. Разложим эту

дробь на простые дроби:  Или . При z=-1 получим A=1/4. Если положить z=-5, то получим В=3/4. Следовательно,     1). В кольце  имеем . Тогда дробь можно представить следующим образом:  Воспользуемся формулой для бесконечно убывающей геометрической прогрессии:  , где . В первой дроби q=-1/z, во второй дроби q= -z/5. Следовательно,   2). В кольце   выполняются неравенства  .  Следовательно, .

Ответ. 1). в кольце .

             2).   в кольце .

Задача 9. Разложить функцию в ряд Лорана в областях.

Решение. Корнями уравнения z²+4z-5=0 являются числа z₁=1 и z₂=-5. Разложим эту

дробь на простые дроби:  Или . При z=1 получим A=2/3. Если положить z=-5, то получим В=1/3. Следовательно,     1). В кольце  имеем . Тогда дробь можно представить следующим образом:  Воспользуемся формулой для бесконечно убывающей геометрической прогрессии:  , где . В первой дроби q=1/z, во второй дроби q= -z/5. Следовательно,   2). В кольце   выполняются неравенства  .  Следовательно, .

Ответ. 1). в кольце .

             2).   в кольце .

Задача 9. Разложить функцию в ряд Лорана в областях.

Решение. Корнями уравнения z²+7z+12=0 являются числа z₁=-3 и z₂=-4. Разложим эту

дробь на простые дроби:  Или . При z=-3 получим A=-7. Если положить z=-4, то получим В=8. Следовательно,     1). В кольце  имеем . Тогда дробь можно представить следующим образом:  Воспользуемся формулой для бесконечно убывающей геометрической прогрессии:  , где . В первой дроби q=-3/z, во второй дроби q= -z/4. Следовательно,   2). В кольце   выполняются неравенства  .  Следовательно, .

Ответ. 1).   в кольце .

             2).   в кольце .

Задача 9. Разложить функцию в ряд Лорана в областях.

Решение. Корнями уравнения z²+z-12=0 являются числа z₁=3 и z₂=-4. Разложим эту

дробь на простые дроби:  Или . При z=3 получим A=8/7. Если положить z=-4, то получим В=-1/7. Следовательно,     1). В кольце  имеем . Тогда дробь можно представить следующим образом:  Воспользуемся формулой для бесконечно убывающей геометрической прогрессии:  , где . В первой дроби q=3/z, во второй дроби q= -z/4. Следовательно,   2). В кольце   выполняются неравенства  .  Следовательно, .

Ответ. 1).   в кольце .

             2).   в кольце .